南京信息工程大学 2025年高等代数第0题

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & a & 4 \end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2025 & -2025 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & -a & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -a & \lambda-4 \end{vmatrix}$。

计算二阶行列式：$\begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -a & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-4) - a = \lambda^2 - 6\lambda + 8 - a$。因此特征多项式为 $f(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda^2 - 6\lambda + 8 - a)$。

已知 $A$ 有一个二重特征值，有两种可能： - 情况1：$\lambda=1$ 是二重根，即 $\lambda=1$ 满足 $\lambda^2 - 6\lambda + 8 - a = 0$，代入得 $1 - 6 + 8 - a = 0$，解得 $a=3$。此时特征值为 $1,1,5$。 - 情况2：$\lambda=1$ 不是二重根，则二次因子有重根，即判别式 $\Delta = 36 - 4(8-a) = 4 + 4a = 0$，解得 $a=-1$。此时二次因子为 $(\lambda-3)^2$，特征值为 $1,3,3$。

当 $a=3$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$，特征值 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=5$。 - 对于 $\lambda=1$，解 $(A-I)x=0$：$A-I = \begin{pmatrix} 0 & 2025 & 2025 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，基础解系为 $\xi_1 = (1,0,0)^T$，$\xi_2 = (0,1,-1)^T$。几何重数为2，等于代数重数，故可对角化。 - 对于 $\lambda=5$，解 $(A-5I)x=0$：$A-5I = \begin{pmatrix} -4 & 2025 & 2025 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -4 & 2025 & 2025 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，取 $x_3=3$，得 $x_2=1$，$x_1=2025$，$\xi_3 = (2025,1,3)^T$。

取 $C = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2025 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$，则 $C^{-1}AC = \operatorname{diag}(1,1,5)$。

当 $a=-1$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$，特征值 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$（二重）。 - 对于 $\lambda=3$，解 $(A-3I)x=0$：$A-3I = \begin{pmatrix} -2 & 2025 & 2025 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 2025 & 2025 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为2，基础解系只有一个向量：取 $x_3=1$，得 $x_2=1$，$x_1=2025$，$\xi = (2025,1,1)^T$。几何重数为1，小于代数重数2，故不可对角化。

(1) $a=3$ 或 $a=-1$。 (2) 当 $a=3$ 时，$A$ 可对角化，可取 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2025 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$，则 $C^{-1}AC = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$；当 $a=-1$ 时，$A$ 不可对角化。