南京信息工程大学 2025年高等代数第0题

线性空间 $V = \{ a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \mid a_i \in P \}$ 是次数不超过 $n-1$ 的多项式全体，维数为 $n$，一组基为 $1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}$。线性变换 $\sigma$ 定义为 $\sigma\left( a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \right) = a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$，即保留原多项式从一次项到最高次项的系数，但次数降低一次，常数项消失。

像空间 $\sigma(V) = \{ \sigma(f) \mid f \in V \}$。任取 $f = a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$，则 $\sigma(f) = a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$。由于 $a_{n-1}, \ldots, a_1$ 可以任意取，$\sigma(V)$ 中的多项式形如 $b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_0$，其中 $b_i \in P$，即次数不超过 $n-2$ 的多项式全体。因此 $\dim \sigma(V) = n-1$，一组基为 $1, x, x^2, \ldots, x^{n-2}$。

核空间 $\sigma^{-1}(0) = \{ f \in V \mid \sigma(f) = 0 \}$。由 $\sigma(f)=0$ 得 $a_{n-1}=a_{n-2}=\cdots=a_1=0$，因此 $f = a_0$ 为常数多项式。故 $\sigma^{-1}(0) = \{ a_0 \mid a_0 \in P \}$，维数为 $1$，一组基为 $1$。

要判断 $V$ 是否能表示为 $\sigma(V)$ 和 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和，首先检查维数条件：$\dim V = n$，$\dim \sigma(V) = n-1$，$\dim \sigma^{-1}(0) = 1$，满足 $\dim V = \dim \sigma(V) + \dim \sigma^{-1}(0)$。

检查 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0)$。$\sigma(V)$ 中的多项式次数不超过 $n-2$，$\sigma^{-1}(0)$ 中的多项式是常数。它们的交中的多项式既是常数又是次数不超过 $n-2$ 的多项式，因此只能是零多项式。故 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0) = \{0\}$。

由于维数条件满足且交空间为零，$V$ 可以表示为 $\sigma(V)$ 和 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和：$V = \sigma(V) \oplus \sigma^{-1}(0)$。