南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、（16 分）$\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \eta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，己知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 可以化成 3 维线性空间，求 $\alpha=\left(\begin{array}{c}18 \\ -18 \\ 18\end{array}\right)$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立线性方程组
设坐标向量为 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，满足 $\alpha = x_1 \eta_1 + x_2 \eta_2 + x_3 \eta_3$。代入向量得：
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 18 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = -18 \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 18 \end{cases}$$
公式：$\alpha = x_1 \eta_1 + x_2 \eta_2 + x_3 \eta_3$
提示：注意向量加法对应分量相加，确保每个方程对应一个分量。
步骤 2/6
目标：写出矩阵形式并计算行列式
方程组写成矩阵形式 $A x = b$，其中
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 18 \\ -18 \\ 18 \end{pmatrix}$$
计算系数矩阵的行列式：
$$\det(A) = 1\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(2\cdot2 - 1\cdot3) + 3\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3) = 1\cdot5 - 2\cdot1 + 3\cdot(-7) = 5 - 2 - 21 = -18 \neq 0$$
公式：$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$
提示：计算行列式时注意符号和代数余子式的正确计算，避免算术错误。
步骤 3/6
目标：应用克拉默法则求x1
由于行列式非零，方程组有唯一解。用克拉默法则：$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}$，其中 $A_1$ 是将 $A$ 的第一列替换为 $b$：
$$A_1 = \begin{pmatrix} 18 & 2 & 3 \\ -18 & 3 & 1 \\ 18 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
计算 $\det(A_1)$：
$$\det(A_1) = 18\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot((-18)\cdot2 - 1\cdot18) + 3\cdot((-18)\cdot1 - 3\cdot18) = 18\cdot5 - 2\cdot(-36-18) + 3\cdot(-18-54) = 90 - 2\cdot(-54) + 3\cdot(-72) = 90 + 108 - 216 = -18$$
所以 $x_1 = \frac{-18}{-18} = 1$。
公式：$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
提示：替换列时注意顺序，计算行列式时仔细处理负号。
步骤 4/6
目标：应用克拉默法则求x2
$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)}$，其中 $A_2$ 是将 $A$ 的第二列替换为 $b$：
$$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 18 & 3 \\ 2 & -18 & 1 \\ 3 & 18 & 2 \end{pmatrix}$$
计算 $\det(A_2)$：
$$\det(A_2) = 1\cdot((-18)\cdot2 - 1\cdot18) - 18\cdot(2\cdot2 - 1\cdot3) + 3\cdot(2\cdot18 - (-18)\cdot3) = 1\cdot(-36-18) - 18\cdot(4-3) + 3\cdot(36+54) = -54 - 18\cdot1 + 3\cdot90 = -54 - 18 + 270 = 198$$
所以 $x_2 = \frac{198}{-18} = -11$。
公式：$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
提示：注意第二列替换，计算行列式时按第一行展开，符号规则正确。
步骤 5/6
目标：应用克拉默法则求x3
$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)}$，其中 $A_3$ 是将 $A$ 的第三列替换为 $b$：
$$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 18 \\ 2 & 3 & -18 \\ 3 & 1 & 18 \end{pmatrix}$$
计算 $\det(A_3)$：
$$\det(A_3) = 1\cdot(3\cdot18 - (-18)\cdot1) - 2\cdot(2\cdot18 - (-18)\cdot3) + 18\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3) = 1\cdot(54+18) - 2\cdot(36+54) + 18\cdot(2-9) = 72 - 2\cdot90 + 18\cdot(-7) = 72 - 180 - 126 = -234$$
所以 $x_3 = \frac{-234}{-18} = 13$。
公式：$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
提示：第三列替换，注意最后一项的符号：展开时第三项系数为+18（因为位置(1,3)的代数余子式符号为正）。
步骤 6/6
目标：得出坐标
因此，$\alpha$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的坐标为 $(1, -11, 13)^T$。
提示：坐标向量是列向量，注意顺序与基的对应。
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