南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、（16 分）$A$ 是特征值都为 0 的 3 阶复矩阵。
（8 分）（1）写出 $A$ 所有可能的 Jordan标准形．
（8 分）（2）$g(x)=x^{17}+11 x^{13}-x^{9}+2 x^{7}-x^{5}+x^{3}+x-3$ ，求 $|g(A)|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵特征值条件
已知$A$是3阶复矩阵，且特征值全为0。因此$A$是幂零矩阵，其Jordan标准形由特征值为0的Jordan块组成。Jordan块的大小之和为3。
提示：注意特征值全为0意味着矩阵是幂零的，但幂零指数可能不同。
步骤 2/5
目标：列举所有可能的Jordan标准形
可能的Jordan块大小组合有：三个1×1块（即零矩阵）；一个2×2块和一个1×1块；一个3×3块。对应的Jordan标准形分别为：
$$J_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad J_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad J_3=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$
提示：注意Jordan块的对角线元素为0，次对角线为1。
步骤 3/5
目标：确定矩阵的幂零指数
由于$A$是3阶矩阵且特征值全为0，其最大Jordan块大小为3，因此$A^3=0$。即$A$的幂零指数不超过3。
公式：$A^3=0$
提示：幂零指数等于最大Jordan块的大小。
步骤 4/5
目标：化简多项式$g(A)$
因为$A^3=0$，所以对于$g(x)=x^{17}+11x^{13}-x^9+2x^7-x^5+x^3+x-3$，所有次数$\geq3$的项代入$A$后均为0。因此只需考虑$g(x)$除以$x^3$的余式。计算得$g(x)\equiv -3+x \pmod{x^3}$，即$g(A)=A-3I$。
公式：$g(x) \equiv -3 + x \pmod{x^3}$
提示：注意$x^3$项系数为1，但$x^3$本身模$x^3$为0，所以余式不含$x^2$项。
步骤 5/5
目标：计算行列式$|g(A)|$
由$g(A)=A-3I$，且$A$的特征值全为0，故$A-3I$的特征值为$-3$（三重）。因此$|g(A)|=(-3)^3=-27$。
公式：$|A-3I| = (-3)^3 = -27$
提示：行列式等于特征值的乘积，注意特征值的重数。
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