南京师范大学 2011年高等代数第0题

将第2,3,…,n列加到第1列，得到新行列式。第1列元素变为：第1行：$x+(n-1)a$，第2至n行：$-a+(n-1)a = (n-2)a$。

将第2行乘以-1加到第3行，第3行乘以-1加到第4行，…，第n-1行乘以-1加到第n行。得到的新行列式中，从第3行开始，每行只有两个非零元素：第i行第i-1列为$-x-a$，第i行第i列为$x-a$，其余为0。

按第1列展开行列式。第1列有两个非零元素：第1行$x+(n-1)a$和第2行$(n-2)a$。展开得： $D = (x+(n-1)a) \cdot A_{11} + (-1)^{2+1}(n-2)a \cdot A_{21}$， 其中$A_{11}$和$A_{21}$是相应的代数余子式。

第一个余子式$A_{11}$对应的矩阵是上三角矩阵：主对角线上元素依次为$x, x-a, x-a, \dots, x-a$（共$n-1$阶）。因此$A_{11} = x (x-a)^{n-2}$。

第二个余子式$A_{21}$对应的矩阵为： $\begin{vmatrix} a & a & \cdots & a & a \\ -x-a & x-a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -x-a & x-a \end{vmatrix}$（$n-1$阶）。 将第2列乘以-1加到第1列，第3列乘以-1加到第2列，…，第n-1列乘以-1加到第n-2列，得到： $\begin{vmatrix} a & 0 & \cdots & 0 & a \\ -x-a & x-a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -x-a & x-a \end{vmatrix}$。 按第1行展开，得$a \cdot (x-a)^{n-2} + (-1)^{n+1} a \cdot (-x-a)^{n-2}$。

将两个余子式代入展开式： $D = (x+(n-1)a) \cdot x (x-a)^{n-2} - (n-2)a \left[ a (x-a)^{n-2} + (-1)^{n+1} a (-x-a)^{n-2} \right]$。 化简得： $D = (x-a)^{n-2} \left[ x(x+(n-1)a) - (n-2)a^2 \right] - (n-2)a^2 (-1)^{n+1} (-x-a)^{n-2}$。 利用$(-x-a)^{n-2} = (-1)^{n-2}(x+a)^{n-2}$，且$(-1)^{n+1}(-1)^{n-2} = (-1)^{2n-1} = -1$，得： $D = (x-a)^{n-2} \left[ x^2 + (n-1)ax - (n-2)a^2 \right] + (n-2)a^2 (x+a)^{n-2}$。