南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵；
（2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ；
（3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$
高等代数
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解基变换与矩阵变换的关系
设线性变换 $A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A = (a_{ij})$，即 $A(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$。当基变为 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 时，存在过渡矩阵 $P$ 使得 $(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) P$，则 $A$ 在新基下的矩阵为 $B = P^{-1} A P$。
公式：B = P^{-1} A P
提示：注意过渡矩阵 $P$ 是从旧基到新基的变换矩阵，即新基向量在旧基下的坐标构成 $P$ 的列。
步骤 2/7
目标：求基 $\varepsilon_3, \varepsilon_2, \varepsilon_1$ 下的过渡矩阵
新基 $\eta_1 = \varepsilon_3, \eta_2 = \varepsilon_2, \eta_3 = \varepsilon_1$。写出 $\eta_i$ 在旧基下的坐标：$\eta_1 = (0,0,1)^T, \eta_2 = (0,1,0)^T, \eta_3 = (1,0,0)^T$，因此过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：过渡矩阵的列是新基向量在旧基下的坐标，注意顺序。
步骤 3/7
目标：计算基 $\varepsilon_3, \varepsilon_2, \varepsilon_1$ 下的矩阵
由于 $P$ 是置换矩阵，$P^{-1} = P$。计算 $B = P A P$：
先计算 $PA = \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix}$，再右乘 $P$ 得 $B = \begin{pmatrix} a_{33} & a_{32} & a_{31} \\ a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ a_{13} & a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}$。
公式：B = P^{-1} A P
提示：矩阵乘法顺序不可交换，注意先左乘 $P^{-1}$ 再右乘 $P$。
步骤 4/7
目标：求基 $\varepsilon_1, k\varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的过渡矩阵
新基 $\eta_1 = \varepsilon_1, \eta_2 = k\varepsilon_2, \eta_3 = \varepsilon_3$。坐标：$\eta_1 = (1,0,0)^T, \eta_2 = (0,k,0)^T, \eta_3 = (0,0,1)^T$，过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $k$ 是非零常数，$P$ 是对角矩阵。
步骤 5/7
目标：计算基 $\varepsilon_1, k\varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵
先求 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $B = P^{-1} A P$：
先计算 $P^{-1}A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}/k & a_{22}/k & a_{23}/k \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，再右乘 $P$ 得 $B = \begin{pmatrix} a_{11} & k a_{12} & a_{13} \\ a_{21}/k & a_{22} & a_{23}/k \\ a_{31} & k a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。
公式：B = P^{-1} A P
提示：注意 $k$ 在乘法中的位置，左乘 $P^{-1}$ 影响行，右乘 $P$ 影响列。
步骤 6/7
目标：求基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的过渡矩阵
新基 $\eta_1 = \varepsilon_1+\varepsilon_2, \eta_2 = \varepsilon_2, \eta_3 = \varepsilon_3$。坐标：$\eta_1 = (1,1,0)^T, \eta_2 = (0,1,0)^T, \eta_3 = (0,0,1)^T$，过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $\eta_1$ 的坐标是 $(1,1,0)^T$，因为 $\varepsilon_1+\varepsilon_2 = 1\cdot\varepsilon_1 + 1\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3$。
步骤 7/7
目标：计算基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵
先求 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $B = P^{-1} A P$：
先计算 $P^{-1}A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} & a_{23}-a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，再右乘 $P$ 得 $B = \begin{pmatrix} a_{11}+a_{12} & a_{12} & a_{13} \\ (a_{21}-a_{11})+(a_{22}-a_{12}) & a_{22}-a_{12} & a_{23}-a_{13} \\ a_{31}+a_{32} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。
公式：B = P^{-1} A P
提示：计算 $P^{-1}A$ 时，第二行是旧矩阵第二行减去第一行；右乘 $P$ 时，第一列是原第一列加上第二列。
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