南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
三、（10 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足：对任意的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq n$ 且 $\displaystyle i \neq j$ ，不等式 $\displaystyle \left|a_{i i} a_{i j}\right|>\left(\sum_{k \neq i}\left|a_{i k}\right|\right)\left(\sum_{t \neq j}\left|a_{j k}\right|\right)$ 成立。证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设 $|A| = 0$，则存在非零列向量 $x = (x_1, \dots, x_n)^T$ 使得 $Ax = 0$。设 $|x_p| = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i| > 0$。
提示：注意 $x$ 非零，因此最大值 $|x_p| > 0$。
步骤 2/5
目标：由第p个方程得到不等式
由 $Ax = 0$ 的第 $p$ 个方程：$\sum_{j=1}^n a_{pj} x_j = 0$，移项得 $a_{pp} x_p = -\sum_{j \neq p} a_{pj} x_j$。两边取绝对值，利用三角不等式：$|a_{pp}| |x_p| \leq \sum_{j \neq p} |a_{pj}| |x_j| \leq |x_p| \sum_{j \neq p} |a_{pj}|$。由于 $|x_p| > 0$，两边除以 $|x_p|$ 得 $|a_{pp}| \leq \sum_{j \neq p} |a_{pj}|$。
公式：$|a_{pp}| \leq \sum_{j \neq p} |a_{pj}|$
提示：注意 $|x_j| \leq |x_p|$ 的运用，以及除以 $|x_p|$ 时确保其非零。
步骤 3/5
目标：选取另一个分量q
由于 $x$ 非零，存在另一个分量 $q \neq p$ 使得 $|x_q|$ 是次大的（若最大值唯一，则 $|x_q| < |x_p|$；若多个最大值，可取 $|x_q| = |x_p|$）。类似地，由第 $q$ 个方程可得 $|a_{qq}| \leq \sum_{j \neq q} |a_{qj}|$。
公式：$|a_{qq}| \leq \sum_{j \neq q} |a_{qj}|$
提示：注意 $q$ 的选取：如果所有分量绝对值相等，则任意两个不同下标均可。
步骤 4/5
目标：应用题目条件
由题目条件，对 $i=p, j=q$（$p \neq q$）有 $|a_{pp} a_{qq}| > \left( \sum_{k \neq p} |a_{pk}| \right) \left( \sum_{t \neq q} |a_{qt}| \right)$。
公式：$|a_{pp} a_{qq}| > \left( \sum_{k \neq p} |a_{pk}| \right) \left( \sum_{t \neq q} |a_{qt}| \right)$
提示：注意条件中 $i \neq j$，这里 $p \neq q$ 成立。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
由前两步得到的不等式 $|a_{pp}| \leq \sum_{k \neq p} |a_{pk}|$ 和 $|a_{qq}| \leq \sum_{t \neq q} |a_{qt}|$，相乘得 $|a_{pp} a_{qq}| \leq \left( \sum_{k \neq p} |a_{pk}| \right) \left( \sum_{t \neq q} |a_{qt}| \right)$，与题目条件矛盾。因此假设不成立，故 $|A| \neq 0$。
提示：注意不等号方向：由两个小于等于推出乘积小于等于，与严格大于矛盾。
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