南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的两个多项式，满足 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x f_{2}\left(x^{3}\right)$ 。证明： $\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入单位根
设 $\omega$ 是 $x^2+x+1=0$ 的一个根，则 $\omega^3=1$ 且 $\omega \neq 1$。
公式：$\omega^2+\omega+1=0$，$\omega^3=1$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，但不是1。
步骤 2/7
目标：利用整除条件代入根
由条件 $(x^2+x+1) \mid f_1(x^3)+x f_2(x^3)$，将 $x=\omega$ 代入得 $f_1(\omega^3)+\omega f_2(\omega^3)=0$，即 $f_1(1)+\omega f_2(1)=0$。
公式：$f_1(1)+\omega f_2(1)=0$
提示：注意 $\omega^3=1$。
步骤 3/7
目标：代入另一个根
同理，取 $\omega^2$ 为另一个根，代入得 $f_1(1)+\omega^2 f_2(1)=0$。
公式：$f_1(1)+\omega^2 f_2(1)=0$
提示：注意 $\omega^2$ 也是 $x^2+x+1=0$ 的根。
步骤 4/7
目标：两式相减消去f1(1)
将两个等式相减：$(f_1(1)+\omega f_2(1)) - (f_1(1)+\omega^2 f_2(1)) = 0$，得 $(\omega-\omega^2)f_2(1)=0$。
公式：$(\omega-\omega^2)f_2(1)=0$
提示：注意相减时 $f_1(1)$ 抵消。
步骤 5/7
目标：推出f2(1)=0
由于 $\omega \neq \omega^2$，所以 $\omega-\omega^2 \neq 0$，因此 $f_2(1)=0$。
公式：$f_2(1)=0$
提示：注意 $\omega$ 和 $\omega^2$ 不相等。
步骤 6/7
目标：推出f1(1)=0
将 $f_2(1)=0$ 代入 $f_1(1)+\omega f_2(1)=0$，得 $f_1(1)=0$。
公式：$f_1(1)=0$
提示：代入即可。
步骤 7/7
目标：得出整除结论
由 $f_1(1)=0$ 和 $f_2(1)=0$ 知 $x-1$ 整除 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$，从而 $(x-1) \mid (f_1(x), f_2(x))$。
公式：$(x-1) \mid f_1(x)$ 且 $(x-1) \mid f_2(x)$
提示：注意最大公因式的定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。