南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 级矩阵，证明：
（1）$A$ 是反对称矩阵当且仅当对任一个 $n$ 维向量 $X$ ，有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ；（ $\displaystyle X^{\prime}$ 表示 $X$ 的转置）
（2）如果 $A$ 是对称矩阵，且对任一个 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{\text {有 } X^{\prime} A X=0 \text { ，那么 } A=0 \text { ．}}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明必要性：反对称矩阵推出二次型为零
设 $A$ 是反对称矩阵，即 $A' = -A$。对任意 $n$ 维向量 $X$，考虑标量 $X'AX$。由于它是一个标量，其转置等于自身，因此 $X'AX = (X'AX)' = X'A'X = X'(-A)X = -X'AX$。移项得 $2X'AX = 0$，故 $X'AX = 0$。
公式：$X'AX = (X'AX)' = X'A'X$
提示：注意标量的转置等于自身，这是关键步骤。
步骤 2/5
目标：证明充分性：二次型为零推出反对称（对角线元素为零）
假设对任意 $n$ 维向量 $X$ 有 $X'AX = 0$。取 $X = e_i$（第 $i$ 个标准单位向量），则 $e_i'A e_i = a_{ii} = 0$。因此 $A$ 的所有对角线元素均为 $0$。
公式：$e_i'A e_i = a_{ii}$
提示：标准单位向量的选取要明确，注意 $e_i$ 只有第 $i$ 个分量为1。
步骤 3/5
目标：证明充分性：二次型为零推出反对称（非对角线元素互为相反数）
取 $X = e_i + e_j$，其中 $i \neq j$。则 $(e_i + e_j)' A (e_i + e_j) = e_i'A e_i + e_i'A e_j + e_j'A e_i + e_j'A e_j = 0 + a_{ij} + a_{ji} + 0 = a_{ij} + a_{ji} = 0$。因此 $a_{ij} = -a_{ji}$，即 $A' = -A$，$A$ 是反对称矩阵。
公式：$(e_i + e_j)' A (e_i + e_j) = a_{ij} + a_{ji}$
提示：注意 $e_i'A e_i = 0$ 和 $e_j'A e_j = 0$ 已在第一步得到，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：证明第二部分：对称且二次型为零推出矩阵为零
已知 $A$ 是对称矩阵，即 $A' = A$，且对任意 $X$ 有 $X'AX = 0$。由第一部分的充分性证明，$X'AX = 0$ 对任意 $X$ 成立可推出 $A$ 是反对称矩阵，即 $A' = -A$。结合对称性得 $A = -A$，所以 $2A = 0$，即 $A = 0$。
公式：$A' = A$ 且 $A' = -A \Rightarrow A = -A \Rightarrow A = 0$
提示：注意这里直接应用了第一部分的结论，无需重复证明。
步骤 5/5
目标：总结
综上所述，第一部分证明了 $A$ 是反对称矩阵当且仅当对任意 $X$ 有 $X'AX = 0$；第二部分证明了若 $A$ 对称且 $X'AX = 0$ 对所有 $X$ 成立，则 $A = 0$。
提示：注意第二部分的条件比第一部分多了一个对称性，因此结论更强。
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