南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
六、（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次方程组 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $\displaystyle x_{1}=x_{2}^{\prime}=\cdots=x_{n}$ 的解空间，证明：
$$
P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确两个子空间的定义
设 $V_1 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \in P^n \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \}$，$V_2 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \in P^n \mid x_1 = x_2 = \cdots = x_n \}$。
提示：注意 $V_2$ 是齐次方程组 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 的解空间，即所有分量相等的向量。
步骤 2/5
目标：计算两个子空间的维数
$V_1$ 是齐次线性方程组 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 的解空间，系数矩阵为 $(1,1,\dots,1)$，秩为1，故 $\dim V_1 = n-1$。$V_2$ 是方程组 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 的解空间，等价于 $x_1 - x_2 = 0, x_1 - x_3 = 0, \dots, x_1 - x_n = 0$，系数矩阵秩为 $n-1$，故 $\dim V_2 = 1$，基为 $(1,1,\dots,1)$。
公式：维数公式：$\dim V_1 = n-1$，$\dim V_2 = 1$
提示：注意 $V_2$ 的维数计算：方程组 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 有 $n-1$ 个独立方程，所以解空间维数为 $1$。
步骤 3/5
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
设 $\alpha = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in V_1 \cap V_2$。由 $\alpha \in V_2$ 知 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = c$（$c \in P$）。由 $\alpha \in V_1$ 知 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = nc = 0$。由于数域 $P$ 通常包含有理数，$n \neq 0$，故 $c = 0$，从而 $\alpha = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$nc = 0 \Rightarrow c = 0$（因为 $n \neq 0$）
提示：注意数域 $P$ 的特征不能整除 $n$，否则 $c$ 不一定为零。通常 $P$ 为有理数域或实数域等，特征为0，故 $n \neq 0$ 可逆。
步骤 4/5
目标：证明 $V_1 + V_2 = P^n$（构造分解）
任取 $\beta = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in P^n$。令 $c = \frac{1}{n}(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)$，构造 $\gamma = (c, c, \dots, c) \in V_2$。则 $\beta - \gamma = (b_1 - c, b_2 - c, \dots, b_n - c)$。计算其分量和：$\sum_{i=1}^n (b_i - c) = \sum_{i=1}^n b_i - nc = 0$，故 $\beta - \gamma \in V_1$。于是 $\beta = (\beta - \gamma) + \gamma \in V_1 + V_2$。因此 $P^n \subseteq V_1 + V_2$，而显然 $V_1 + V_2 \subseteq P^n$，故 $V_1 + V_2 = P^n$。
公式：$c = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i$
提示：构造 $c$ 时需注意 $n$ 在数域中可逆，即 $1/n$ 存在。
步骤 5/5
目标：总结直和结论
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $V_1 + V_2 = P^n$，根据直和的定义，有 $P^n = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足交为零和和为全空间两个条件，缺一不可。
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