南京师范大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称半正定矩阵，$B$ 为 $n$ 级正定矩阵。证明：$\displaystyle |A+B| \geq|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简行列式，将问题转化为标准形式
由于 $B$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T B P = I$。令 $C = P^T A P$，则 $C$ 是实对称半正定矩阵。计算 $|A+B|$：
\[
|A+B| = |P^{-T} P^T (A+B) P P^{-1}| = |P^{-T}| \cdot |P^T (A+B) P| \cdot |P^{-1}| = |P^{-T} P^{-1}| \cdot |C+I|.
\]
由 $|P^T B P| = |I| = 1$ 得 $|P^T| |B| |P| = 1$，故 $|P^T P| = |B|^{-1}$，从而 $|P^{-T} P^{-1}| = |B|^{-1}$。因此 $|A+B| = |B|^{-1} |C+I|$。
公式：|A+B| = |B|^{-1} |C+I|
提示：注意 $P$ 是可逆矩阵，但未必是正交矩阵，因此 $P^{-T} P^{-1} = (P P^T)^{-1}$，其行列式为 $|B|^{-1}$。
步骤 2/5
目标：将原不等式等价转化
要证 $|A+B| \geq |B|$，即证 $|B|^{-1} |C+I| \geq |B|$，等价于 $|C+I| \geq 1$。
提示：注意 $|B| > 0$，不等式两边可同时乘以 $|B|$。
步骤 3/5
目标：利用正交对角化简化 $C$
由于 $C$ 是实对称半正定矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T C Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i \geq 0$ 是 $C$ 的特征值。
公式：Q^T C Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)
提示：实对称矩阵可正交对角化，且半正定保证特征值非负。
步骤 4/5
目标：计算 $|C+I|$ 并利用特征值放缩
计算 $|C+I|$：
\[
|C+I| = |Q^T (C+I) Q| = |Q^T C Q + I| = |\operatorname{diag}(\lambda_1+1, \dots, \lambda_n+1)| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i+1).
\]
由于 $\lambda_i \geq 0$，故 $\lambda_i+1 \geq 1$，因此 $\prod_{i=1}^n (\lambda_i+1) \geq 1$，即 $|C+I| \geq 1$。
公式：|C+I| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i+1)
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，行列式为 $\pm 1$，但 $|Q^T (C+I) Q| = |C+I|$ 恒成立。
步骤 5/5
目标：得出原不等式并讨论等号条件
由 $|C+I| \geq 1$ 得 $|A+B| = |B|^{-1} |C+I| \geq |B|^{-1} \cdot 1 = |B|$，即 $|A+B| \geq |B|$。等号成立当且仅当 $|C+I| = 1$，即所有 $\lambda_i = 0$，从而 $C=0$，即 $A=0$。
提示：等号成立时 $A=0$，但题目未要求讨论等号条件，只需证明不等式。
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