南京师范大学 2012年高等代数第1题
📝 题目
1、（本题满分 15 分）设对任意非负整数 $n$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ 。设多项式
$$
g(x)=f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{2012}(x) \text {, 证明: }\left(x^{2}+x+1, g(x)\right)=1 \text {. }
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入三次单位根并转化问题
设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则 $\omega^2+\omega+1=0$，且 $\omega^3=1$。要证 $(x^2+x+1, g(x))=1$，只需证 $\omega$ 不是 $g(x)$ 的根，即 $g(\omega) \neq 0$。
公式：$\omega^2+\omega+1=0$，$\omega^3=1$
提示：注意 $x^2+x+1$ 在复数域上的根为 $\omega$ 和 $\omega^2$，只需验证其中一个不是 $g(x)$ 的根即可。
步骤 2/6
目标：计算 $f_n(\omega)$ 的表达式
计算 $f_n(\omega) = \omega^{n+2} - (\omega+1)^{2n+1}$。由于 $\omega+1 = -\omega^2$，且 $\omega^3=1$，有 $(\omega+1)^{2n+1} = (-\omega^2)^{2n+1} = -\omega^{4n+2}$。
公式：$\omega+1 = -\omega^2$
提示：注意 $(-\omega^2)^{2n+1} = -\omega^{2(2n+1)} = -\omega^{4n+2}$，指数运算要小心。
步骤 3/6
目标：化简 $\omega^{4n+2}$
因为 $\omega^3=1$，所以 $\omega^{4n+2} = \omega^{3n} \cdot \omega^{n+2} = \omega^{n+2}$。因此 $(\omega+1)^{2n+1} = -\omega^{n+2}$。
公式：$\omega^{3n}=1$
提示：利用 $\omega^3=1$ 化简指数时，注意 $4n+2 = 3n + (n+2)$。
步骤 4/6
目标：得到 $f_n(\omega)$ 的值
代入得 $f_n(\omega) = \omega^{n+2} - (-\omega^{n+2}) = 2\omega^{n+2} \neq 0$。
提示：注意 $\omega^{n+2} \neq 0$，因为 $\omega$ 非零。
步骤 5/6
目标：推出 $g(\omega) \neq 0$
由于每个 $f_n(\omega) \neq 0$，它们的乘积 $g(\omega) = \prod_{n=1}^{2012} f_n(\omega) \neq 0$。
提示：有限个非零数的乘积非零。
步骤 6/6
目标：由根的关系得到多项式互素
因为 $x^2+x+1$ 是 $\omega$ 的极小多项式，且 $\omega$ 不是 $g(x)$ 的根，所以 $x^2+x+1$ 与 $g(x)$ 没有公共根，从而互素，即 $(x^2+x+1, g(x))=1$。
提示：两个多项式互素当且仅当它们没有公共根（在复数域上）。
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