南京师范大学 2012年高等代数第2题
📝 题目
2、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle S_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}, k=0,1,2, \cdots$ 。计算行列式
$$
d=\left|\begin{array}{ccccc}
S_{0} & S_{1} & \cdots & S_{n-2} & S_{n-1} \\
S_{1} & S_{2} & \cdots & S_{n-1} & S_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
S_{n-2} & S_{n-1} & \cdots & S_{2 n-4} & S_{2 n-3} \\
S_{n-1} & S_{n} & \cdots & S_{2 n-3} & S_{2 n-2}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别行列式的结构
观察行列式 $d$ 的元素：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $S_{i+j-2}$，其中 $i,j=1,\dots,n$。因此 $d$ 是一个 $n$ 阶对称矩阵的行列式，其元素由幂和 $S_k$ 构成。
提示：注意下标：$S_0 = n$，因为 $x_i^0 = 1$。
步骤 2/6
目标：构造矩阵 $V$
定义 $n \times n$ 矩阵 $V$，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $x_i^{j-1}$，即
$$ V = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}. $$
提示：注意 $V$ 是范德蒙德矩阵，其行对应不同的 $x_i$，列对应 $x_i$ 的幂次。
步骤 3/6
目标：计算 $V V^T$ 的元素
计算乘积 $V V^T$：$(V V^T)_{ij} = \sum_{k=1}^n x_k^{i-1} x_k^{j-1} = \sum_{k=1}^n x_k^{(i-1)+(j-1)} = S_{i+j-2}$。因此 $V V^T$ 恰好等于原行列式中的矩阵。
公式：$(V V^T)_{ij} = S_{i+j-2}$
提示：注意 $i$ 和 $j$ 从1开始，所以幂次为 $i-1$ 和 $j-1$。
步骤 4/6
目标：利用行列式乘法性质
由于 $d = \det(V V^T)$，且 $V$ 是方阵，有 $\det(V V^T) = \det(V) \det(V^T) = (\det V)^2$。
公式：$\det(AB) = \det A \cdot \det B$
提示：注意 $V$ 和 $V^T$ 的行列式相等。
步骤 5/6
目标：计算范德蒙德行列式
$\det V$ 是范德蒙德行列式，其值为
$$ \det V = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i). $$
公式：$\det V = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
提示：注意乘积顺序：$j > i$，且是 $x_j - x_i$，不是 $x_i - x_j$。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
因此原行列式 $d = (\det V)^2 = \left( \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \right)^2 = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)^2$。
公式：$d = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)^2$
提示：结果与 $x_i$ 的顺序无关，因为平方消去了符号。
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