南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
一、（20 分，每题 5 分）叙述题：
（1）艾森斯坦（Eisenstein）判别法；
（2）克拉默（Cramer）法则；
（3）哈密顿－凯莱（Hamilton－Caylay）定理；
（4）正交变换．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：艾森斯坦判别法
艾森斯坦判别法用于判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。设多项式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$，若存在素数 $p$ 满足：
- $p\nmid a_n$；
- $p\mid a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_0$；
- $p^2\nmid a_0$，
则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：注意条件要求 $p$ 是素数，且 $p$ 不整除首项系数，但整除所有其他系数，且 $p^2$ 不整除常数项。
步骤 2/4
目标：克拉默法则
克拉默法则用于求解线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中 $A$ 是 $n\times n$ 可逆矩阵。解为 $x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$，$i=1,\ldots,n$，其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\mathbf{b}$ 得到的矩阵。
公式：$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
提示：仅当 $\det(A)\neq0$ 时适用，否则方程组无解或有无穷多解。
步骤 3/4
目标：哈密顿-凯莱定理
设 $A$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶方阵，$\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 是其特征多项式，则 $\chi_A(A)=0$，即矩阵 $A$ 满足自身的特征多项式。
公式：$\chi_A(A)=0$
提示：注意特征多项式是 $\det(\lambda I-A)$，而不是 $\det(A-\lambda I)$，但两者相差 $(-1)^n$，代入后结果仍为零矩阵。
步骤 4/4
目标：正交变换
设 $V$ 是欧几里得空间，线性变换 $\mathcal{T}:V\to V$ 称为正交变换，如果它保持内积不变：$\langle\mathcal{T}(\alpha),\mathcal{T}(\beta)\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle$ 对所有 $\alpha,\beta\in V$ 成立。等价地，$\mathcal{T}$ 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即 $Q^TQ=I$。
公式：$\langle\mathcal{T}(\alpha),\mathcal{T}(\beta)\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle$
提示：正交变换保持向量长度和夹角不变，且其矩阵的行列式为 $\pm1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。