南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵
$\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于$A$是$n$级实对称矩阵，存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \dots, \lambda_r I_{n_r})$，其中$n_i$是特征值$\lambda_i$的重数，且$\sum_{i=1}^r n_i = n$。
公式：Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_r I_{n_r})
提示：注意特征值可能有重根，对角矩阵中每个特征值对应一个分块对角矩阵。
步骤 2/7
目标：构造分块对角幂等矩阵
定义$P_i = \operatorname{diag}(0, \dots, 0, I_{n_i}, 0, \dots, 0)$，即第$i$个对角块为单位矩阵，其余为零。则$P_i$是幂等矩阵，满足$P_i^2 = P_i$，$P_i P_j = 0$（$i \neq j$），且$\sum_{i=1}^r P_i = I_n$。同时，$\operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_r I_{n_r}) = \sum_{i=1}^r \lambda_i P_i$。
公式：P_i^2 = P_i, \quad P_i P_j = 0 \ (i \neq j), \quad \sum_{i=1}^r P_i = I_n
提示：注意$P_i$是分块对角矩阵，只有第$i$块是单位阵，其余为零。
步骤 3/7
目标：通过正交变换得到目标矩阵
定义$A_i = Q P_i Q^T$，则$A_i$是实对称矩阵。由于$Q$是正交矩阵，$Q^T = Q^{-1}$，因此$A_i$与$P_i$相似，具有相同的性质。
公式：A_i = Q P_i Q^T
提示：正交变换保持矩阵的对称性和幂等性。
步骤 4/7
目标：验证条件(1)：和为$E_n$
计算$\sum_{i=1}^r A_i = \sum_{i=1}^r Q P_i Q^T = Q (\sum_{i=1}^r P_i) Q^T = Q I_n Q^T = I_n$。注意题目中写的是$E_r$，但根据上下文应为$E_n$（$n$阶单位矩阵）。
公式：\sum_{i=1}^r A_i = I_n
提示：注意单位矩阵的阶数应为$n$，而非$r$。
步骤 5/7
目标：验证条件(2)：幂等性
计算$A_i^2 = (Q P_i Q^T)(Q P_i Q^T) = Q P_i (Q^T Q) P_i Q^T = Q P_i^2 Q^T = Q P_i Q^T = A_i$。
公式：A_i^2 = A_i
提示：利用$Q^T Q = I_n$简化。
步骤 6/7
目标：验证条件(3)：正交性
当$i \neq j$时，$A_i A_j = (Q P_i Q^T)(Q P_j Q^T) = Q P_i (Q^T Q) P_j Q^T = Q P_i P_j Q^T = Q \cdot 0 \cdot Q^T = 0$。
公式：A_i A_j = 0 \ (i \neq j)
提示：注意$P_i P_j = 0$因为不同分块位置不同。
步骤 7/7
目标：验证条件(4)：$A$的谱分解
计算$\sum_{i=1}^r \lambda_i A_i = \sum_{i=1}^r \lambda_i Q P_i Q^T = Q (\sum_{i=1}^r \lambda_i P_i) Q^T = Q \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_r I_{n_r}) Q^T = A$。
公式：A = \sum_{i=1}^r \lambda_i A_i
提示：这是谱分解定理的直接应用。
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