南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
九、（20分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right)$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=x^{2012}+x-1$ ，计算矩阵 $\displaystyle g(A)$ 的行列式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A的特征值
计算特征多项式：$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -3 \\ -4 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-2)-12 = \lambda^2-3\lambda-10 = (\lambda-5)(\lambda+2)=0$，得特征值 $\lambda_1=5$，$\lambda_2=-2$。
公式：$|\lambda I - A| = 0$
提示：注意行列式计算时不要漏掉负号。
步骤 2/5
目标：判断矩阵A是否可对角化
由于A是2×2矩阵且有两个不同的特征值5和-2，因此A可对角化。存在可逆矩阵P使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$。
提示：不同特征值对应的特征向量线性无关，故可对角化。
步骤 3/5
目标：利用对角化计算g(A)
设 $g(x)=x^{2012}+x-1$，则 $g(A)=A^{2012}+A-I$。由 $P^{-1}AP = \Lambda$ 得 $P^{-1}g(A)P = g(\Lambda) = \begin{pmatrix} g(5) & 0 \\ 0 & g(-2) \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP)$
提示：多项式函数作用于矩阵时，对角化后只需计算特征值的函数值。
步骤 4/5
目标：计算g(5)和g(-2)
$g(5)=5^{2012}+5-1=5^{2012}+4$；$g(-2)=(-2)^{2012}+(-2)-1=2^{2012}-3$（注意偶次幂消去负号）。
提示：注意 $(-2)^{2012}=2^{2012}$，因为指数为偶数。
步骤 5/5
目标：计算g(A)的行列式
由于 $P^{-1}g(A)P$ 是对角矩阵，其行列式为对角元乘积，且相似矩阵行列式相等，故 $\det(g(A)) = \det(g(\Lambda)) = g(5) \cdot g(-2) = (5^{2012}+4)(2^{2012}-3)$。
公式：$\det(P^{-1}AP) = \det(A)$
提示：相似变换不改变行列式。
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