南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
二、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $\displaystyle f(\sqrt{3})=0$ ，证明：在有理数域上 $\displaystyle x^{3}-2$ 整除 $\displaystyle f(x)$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 且 $f(\sqrt{3})=0$，需要证明 $x^3-2$ 整除 $f(x)$。
提示：注意 $f(x)$ 是非零多项式，且系数为有理数。
步骤 2/6
目标：构造多项式 $g(x)=x^3-2$
令 $g(x)=x^3-2$，则 $g(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 2 = 3\sqrt{3} - 2 \neq 0$。但注意，题目中 $f(\sqrt{3})=0$，而 $\sqrt{3}$ 不是 $g(x)$ 的根？实际上，$\sqrt{3}$ 是 $x^2-3$ 的根，但这里 $g(x)=x^3-2$ 的根是 $\sqrt[3]{2}$。因此需要重新审视：题目可能有误？但根据标准解法，应该是 $f(\sqrt[3]{2})=0$ 或 $f(\sqrt{3})=0$ 且 $x^2-3$ 整除？但题目明确写 $x^3-2$ 和 $\sqrt{3}$，可能是个陷阱？实际上，$\sqrt{3}$ 不是 $x^3-2$ 的根，所以证明不成立？但题目要求证明，可能我误解了。再读题：设 $f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $f(\sqrt{3})=0$，证明：在有理数域上 $x^3-2$ 整除 $f(x)$。这显然不对，因为 $x^2-3$ 是 $\sqrt{3}$ 的极小多项式，而 $x^3-2$ 与 $x^2-3$ 互素。但也许题目是 $f(\sqrt[3]{2})=0$？或者 $\sqrt{3}$ 是笔误？根据常见习题，应该是 $f(\sqrt[3]{2})=0$ 证明 $x^3-2$ 整除 $f(x)$。因此，我将按照 $f(\sqrt[3]{2})=0$ 来解答。
提示：注意：$\sqrt{3}$ 不是 $x^3-2$ 的根，此处可能为 $\sqrt[3]{2}$。
步骤 3/6
目标：验证 $g(x)=x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约
使用 Eisenstein 判别法，取素数 $p=2$，则 $2$ 整除所有系数（除了首项系数1），且 $2^2=4$ 不整除常数项 $-2$，因此 $g(x)=x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：Eisenstein 判别法：若存在素数 $p$ 使得 $p \mid a_i$（$i=0,\dots,n-1$），$p \nmid a_n$，$p^2 \nmid a_0$，则多项式不可约。
提示：注意检查常数项符号，$p=2$ 整除 $-2$，但 $p^2=4$ 不整除 $-2$。
步骤 4/6
目标：确定 $\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式
由于 $g(x)=x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，且 $g(\sqrt[3]{2})=0$，所以 $g(x)$ 是 $\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。
提示：极小多项式是首一不可约多项式，且以该数为根。
步骤 5/6
目标：利用极小多项式的性质
设 $\alpha = \sqrt[3]{2}$，则 $\alpha$ 的极小多项式为 $g(x)$。对于任意 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$，若 $f(\alpha)=0$，则 $g(x)$ 整除 $f(x)$。这是因为 $\mathbb{Q}[x]$ 是主理想整环，且 $g(x)$ 是 $\alpha$ 的极小多项式，所以 $(g(x))$ 是 $\alpha$ 的零化理想，即所有以 $\alpha$ 为根的多项式构成的理想由 $g(x)$ 生成。
公式：若 $\alpha$ 的极小多项式为 $m(x)$，则 $m(x) \mid f(x)$ 当且仅当 $f(\alpha)=0$。
提示：注意 $f(x)$ 必须是有理系数多项式。
步骤 6/6
目标：应用性质到本题
由已知 $f(\sqrt[3]{2})=0$，且 $g(x)=x^3-2$ 是 $\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式，因此 $g(x) \mid f(x)$，即 $x^3-2$ 整除 $f(x)$。
提示：确保 $f(x)$ 非零，否则整除无意义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。