南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
五、（15分）设矩阵 $A$ 是实对称矩阵。证明：当实数 $\displaystyle \lambda$ 充分大之后，$\displaystyle \lambda E+A$ 是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值（均为实数）。
公式：Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = E$。
步骤 2/6
目标：对 $\lambda E + A$ 进行合同变换
计算 $Q^T (\lambda E + A) Q = \lambda Q^T E Q + Q^T A Q = \lambda E + \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) = \operatorname{diag}(\lambda + \lambda_1, \lambda + \lambda_2, \dots, \lambda + \lambda_n)$。
公式：Q^T (\lambda E + A) Q = \operatorname{diag}(\lambda + \lambda_1, \lambda + \lambda_2, \dots, \lambda + \lambda_n)
提示：注意 $Q^T E Q = Q^T Q = E$。
步骤 3/6
目标：利用合同关系保持正定性
因为 $Q$ 是正交矩阵，所以 $\lambda E + A$ 与对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda + \lambda_1, \dots, \lambda + \lambda_n)$ 合同。合同变换不改变矩阵的正定性，因此 $\lambda E + A$ 正定当且仅当该对角矩阵正定。
提示：合同变换保持正定性，但注意这里 $Q$ 是正交矩阵，所以也是合同变换。
步骤 4/6
目标：对角矩阵正定的条件
对角矩阵正定当且仅当所有对角元大于零，即 $\lambda + \lambda_i > 0$ 对所有 $i=1,\dots,n$ 成立。
公式：\lambda + \lambda_i > 0, \quad i=1,\dots,n
提示：不要遗漏任何一个特征值。
步骤 5/6
目标：求解 $\lambda$ 的取值范围
由 $\lambda + \lambda_i > 0$ 得 $\lambda > -\lambda_i$ 对所有 $i$ 成立。令 $M = \max\{-\lambda_1, -\lambda_2, \dots, -\lambda_n\}$，则当 $\lambda > M$ 时，所有不等式成立。
公式：\lambda > \max\{-\lambda_1, -\lambda_2, \dots, -\lambda_n\}
提示：注意 $\lambda_i$ 可能是负数，所以 $M$ 是正数或零。
步骤 6/6
目标：结论：$\lambda$ 充分大时正定
因此，只要 $\lambda$ 大于 $M$，$\lambda E + A$ 就是正定矩阵。由于 $M$ 是固定常数，当 $\lambda$ 充分大时（例如 $\lambda > M$），条件成立。故当实数 $\lambda$ 充分大后，$\lambda E + A$ 是正定矩阵。
提示：“充分大”是指大于某个阈值，这里阈值是 $M$。
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