南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
八、（ 20 分）设 $A$ 是 $n$ 级实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=2 A+3 E_{n}$ 。证明：（1）$A$ 相似于一个对角矩阵；（2）$\displaystyle A+2 E_{n}$是可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件推导矩阵多项式方程
已知 $A^2 = 2A + 3E_n$，移项得 $A^2 - 2A - 3E_n = 0$，即 $(A - 3E_n)(A + E_n) = 0$。
公式：$A^2 - 2A - 3E_n = 0$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但此处因多项式是 $A$ 的多项式，故可因式分解。
步骤 2/6
目标：分析最小多项式无重根
设 $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$，则 $f(A)=0$，所以 $A$ 的最小多项式 $m(x)$ 整除 $f(x)$。由于 $f(x)$ 的根为 $3$ 和 $-1$，均为单根，故 $m(x)$ 无重根。
公式：$m(x) \mid (x-3)(x+1)$
提示：最小多项式整除零化多项式，且最小多项式的根是特征值。
步骤 3/6
目标：得出矩阵可对角化
因为最小多项式无重根，所以 $A$ 可对角化，即 $A$ 相似于一个对角矩阵。
提示：矩阵可对角化的充要条件是最小多项式无重根。
步骤 4/6
目标：推导矩阵可逆性条件
由 $A^2 = 2A + 3E_n$ 得 $A^2 - 2A = 3E_n$，即 $A(A - 2E_n) = 3E_n$，所以 $A$ 可逆且 $A^{-1} = \frac{1}{3}(A - 2E_n)$。
公式：$A(A - 2E_n) = 3E_n$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A$ 与 $A-2E_n$ 可交换。
步骤 5/6
目标：求矩阵的特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 满足 $\lambda^2 = 2\lambda + 3$，解得 $\lambda = 3$ 或 $\lambda = -1$。
公式：$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$
提示：特征值满足矩阵的零化多项式。
步骤 6/6
目标：判断 $A+2E_n$ 的可逆性
$A+2E_n$ 的特征值为 $\lambda + 2$，即 $3+2=5$ 或 $-1+2=1$，均不为零，故 $A+2E_n$ 可逆。
公式：$\det(A+2E_n) \neq 0$
提示：矩阵可逆当且仅当所有特征值非零。
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