南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，求由齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+4 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}-13 x_{3}+11 x_{4}=0\end{array}\right.$ 确定的解空间的基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵
将齐次线性方程组的系数写成矩阵形式：
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -5 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & -3 \\ 3 & 5 & -13 & 11 \end{pmatrix}. \]
提示：注意系数矩阵的行数与方程个数相同，列数与未知数个数相同。
步骤 2/7
目标：初等行变换化为行阶梯形
对矩阵 $A$ 进行初等行变换：
\[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -5 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & -3 \\ 3 & 5 & -13 & 11 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - r_1, r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & 8 & -7 \\ 0 & 3 & -8 & 7 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 + r_2} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & 8 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
提示：行变换要逐步进行，注意符号和计算准确性。
步骤 3/7
目标：化为行最简形
继续化简：
\[ \xrightarrow{r_1 \div 3, r_2 \div (-3)} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - \frac{2}{3}r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{9} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
提示：行最简形要求主元为1且主元所在列的其他元素为0。
步骤 4/7
目标：确定解空间维数
系数矩阵的秩 $r = 2$，未知数个数 $n = 4$，故解空间维数为 $n - r = 4 - 2 = 2$。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：维数等于自由变量的个数。
步骤 5/7
目标：写出同解方程组
取 $x_3, x_4$ 为自由变量，得同解方程组：
\[ \begin{cases} x_1 = \frac{1}{3}x_3 + \frac{2}{9}x_4, \\ x_2 = \frac{8}{3}x_3 - \frac{7}{3}x_4. \end{cases} \]
提示：自由变量通常取非主元列对应的变量。
步骤 6/7
目标：求基础解系
令 $x_3=1, x_4=0$，得解向量 $\xi_1 = (\frac{1}{3}, \frac{8}{3}, 1, 0)^T$；
令 $x_3=0, x_4=1$，得解向量 $\xi_2 = (\frac{2}{9}, -\frac{7}{3}, 0, 1)^T$。
为方便，取整数倍：$\xi_1 = (1, 8, 3, 0)^T$，$\xi_2 = (2, -21, 0, 9)^T$。
提示：基础解系中的向量必须线性无关，且每个向量都是解。
步骤 7/7
目标：给出基和维数
解空间的一组基为 $\alpha_1 = (1,8,3,0)^T$，$\alpha_2 = (2,-21,0,9)^T$，维数为 $2$。
提示：基不唯一，但维数唯一。
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