南京师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ；（2）$\displaystyle a_{i j}<0$ ，
$\displaystyle i \neq j$ ；（3）$\displaystyle \dot{a}_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造非零解，证明秩 ≤ n-1
由条件（3），每行元素之和为0，即 $\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立。令 $\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T$，则 $A\mathbf{1}=0$，故 $\mathbf{1}$ 是 $Ax=0$ 的非零解，因此 $\text{rank}(A) \leq n-1$。
公式：$A\mathbf{1}=0$
提示：注意条件（3）给出的是行和为零，因此左乘全1向量得到零向量。
步骤 2/4
目标：考虑n-1阶主子式，证明其可逆
考虑去掉第 $n$ 行和第 $n$ 列得到的 $n-1$ 阶子矩阵 $A_{n-1}$。由条件（1）和（2），$A_{n-1}$ 的对角元 $a_{ii}>0$，非对角元 $a_{ij}<0$（$i\neq j$）。由条件（3），对 $i=1,\dots,n-1$，有 $a_{i1}+\cdots+a_{i,n-1} = -a_{in}$。由于 $a_{in}<0$，故 $-a_{in}>0$，因此 $a_{ii} > \sum_{j\neq i, j=1}^{n-1} |a_{ij}|$，即 $A_{n-1}$ 严格对角占优。严格对角占优矩阵可逆，故 $\det(A_{n-1})\neq 0$。
公式：$a_{ii} > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|$
提示：严格对角占优的定义：每行对角元的绝对值大于该行其余元素绝对值之和。注意此处 $a_{ij}<0$，所以 $|a_{ij}|=-a_{ij}$。
步骤 3/4
目标：由非零子式推出秩 ≥ n-1
由于 $\det(A_{n-1})\neq 0$，$A$ 存在 $n-1$ 阶非零子式，故 $\text{rank}(A) \geq n-1$。
提示：矩阵的秩等于最高阶非零子式的阶数。
步骤 4/4
目标：综合上下界，得出秩为n-1
由第一步得 $\text{rank}(A) \leq n-1$，由第三步得 $\text{rank}(A) \geq n-1$，因此 $\text{rank}(A) = n-1$。
提示：注意等号成立的条件。
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