南京师范大学 2014年高等代数第1题
📝 题目
1、（本题满分 15 分）求一个次数最低的实系数多项式，使其被 $\displaystyle x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x+1$ ，被 $\displaystyle x^{3}+x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x^{2}-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立同余方程组
设所求多项式为 $f(x)$。由题意，存在多项式 $q_1(x), q_2(x)$ 使得
\[ f(x) = (x^2+1)q_1(x) + (x+1), \quad f(x) = (x^3+x^2+1)q_2(x) + (x^2-1). \]
即
\[ f(x) \equiv x+1 \pmod{x^2+1}, \quad f(x) \equiv x^2-1 \pmod{x^3+x^2+1}. \]
提示：注意余式次数必须低于除式次数，这里给出的余式次数均满足条件。
步骤 2/7
目标：验证模多项式互素
由于 $x^2+1$ 的根为 $\pm i$，代入 $x^3+x^2+1$ 得 $i^3+i^2+1 = -i-1+1 = -i \neq 0$，同理 $-i$ 代入非零，故 $x^2+1$ 和 $x^3+x^2+1$ 互素。
提示：互素是使用中国剩余定理的前提，可通过判别式或代入根验证。
步骤 3/7
目标：设出余式多项式
由中国剩余定理，存在次数低于 $\deg((x^2+1)(x^3+x^2+1)) = 5$ 的多项式 $r(x)$ 满足同余方程组。设 $r(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$。
提示：余式次数不超过4，因为乘积次数为5。
步骤 4/7
目标：利用第一个同余式得到方程
由 $r(x) \equiv x+1 \pmod{x^2+1}$，代入 $x=i$ 得 $r(i)=i+1$。计算 $r(i)=a i^4+b i^3+c i^2+d i+e = a - b i - c + d i + e = (a-c+e)+(d-b)i$。比较实部和虚部得方程组：
\[ a - c + e = 1, \quad d - b = 1. \tag{1} \]
提示：注意 $i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$。
步骤 5/7
目标：利用第二个同余式得到方程
由 $r(x) \equiv x^2-1 \pmod{x^3+x^2+1}$，设 $r(x)-(x^2-1) = (x^3+x^2+1)(mx+n)$，因为左边次数不超过4，右边 $s(x)$ 次数不超过1。展开并比较系数：
左边：$a x^4+b x^3+(c-1)x^2+d x+(e+1)$
右边：$m x^4+(m+n)x^3+n x^2+m x+n$
得方程组：
\[ a=m,\; b=m+n,\; c-1=n,\; d=m,\; e+1=n. \tag{2} \]
提示：注意多项式乘法展开要仔细，避免符号错误。
步骤 6/7
目标：解方程组
将(2)代入(1)：
由 $a-c+e=1$ 得 $m-(n+1)+(n-1)=m-2=1$，解得 $m=3$。
由 $d-b=1$ 得 $m-(m+n)=-n=1$，解得 $n=-1$。
代入(2)：$a=3,\; b=3+(-1)=2,\; c=-1+1=0,\; d=3,\; e=-1-1=-2$。
提示：解方程时注意符号，特别是 $e+1=n$ 得 $e=n-1$。
步骤 7/7
目标：写出最终多项式
所以 $r(x)=3x^4+2x^3+0x^2+3x-2 = 3x^4+2x^3+3x-2$。取 $q(x)=0$ 得次数最低的多项式 $f(x)=r(x)$。故所求多项式为 $\boxed{3x^4+2x^3+3x-2}$。
提示：最低次数意味着取商为零，即直接取余式作为答案。
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