南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）证明高斯（Gauss）引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 和 $g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0$ 是两个本原多项式，即它们的系数互素（所有系数的最大公因数为1）。要证明乘积 $h(x) = f(x)g(x) = c_{n+m} x^{n+m} + \cdots + c_0$ 也是本原多项式，即所有系数的最大公因数为1。
提示：注意本原多项式的定义：整系数多项式，系数互素。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $h(x)$ 不是本原的，则存在素数 $p$ 整除所有系数 $c_k$，即 $p \mid c_k$ 对所有 $k=0,1,\ldots,n+m$ 成立。
提示：反证法是常用方法，假设结论不成立，推出矛盾。
步骤 3/6
目标：模p约化
考虑 $f(x)$ 和 $g(x)$ 模 $p$ 后的多项式 $\bar{f}(x)$ 和 $\bar{g}(x)$，即系数模 $p$ 得到的多项式。由于 $p$ 整除所有 $c_k$，有 $\bar{h}(x) = \bar{f}(x)\bar{g}(x) = 0$ 在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 中。
公式：$\bar{h}(x) = \bar{f}(x)\bar{g}(x)$
提示：模p约化后，多项式乘积为零多项式。
步骤 4/6
目标：利用域的性质
$\mathbb{Z}_p$ 是域，因此 $\mathbb{Z}_p[x]$ 是整环，无零因子。由 $\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0$ 可得 $\bar{f}(x)=0$ 或 $\bar{g}(x)=0$。
提示：域上的多项式环是整环，没有零因子。
步骤 5/6
目标：推出矛盾
$\bar{f}(x)=0$ 意味着 $p$ 整除 $f(x)$ 的所有系数，与 $f$ 是本原多项式矛盾；同理 $\bar{g}(x)=0$ 也与 $g$ 是本原多项式矛盾。因此假设不成立。
提示：本原多项式要求系数互素，不能被任何素数整除所有系数。
步骤 6/6
目标：结论
故 $h(x)$ 是本原多项式，即两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
提示：证明完成。
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