南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
七、（25分）设 $A$ 为正定矩阵，1）证明对任意的正整数 $m$ ，存在正定矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{m} ; 2$ ）在 $A$ 的特征值两两不同的情形下证明：满足 $\displaystyle A=B^{m}$ 的正定矩阵 $B$ 是唯一确定的．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交对角化表示正定矩阵A
由于A是正定矩阵，存在正交矩阵Q使得$A = Q \Lambda Q^T$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，且$\lambda_i > 0$。
公式：A = Q \Lambda Q^T
提示：确保正交矩阵Q满足$Q^T Q = I$，且特征值均为正数。
步骤 2/6
目标：构造正定矩阵B的谱分解
对每个$\lambda_i$，取正实数$\mu_i = \lambda_i^{1/m}$，则$\mu_i > 0$。令$\Sigma = \operatorname{diag}(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)$，则$\Sigma^m = \Lambda$。定义$B = Q \Sigma Q^T$，则B是实对称矩阵，且特征值均为正数，故B正定。
公式：B = Q \Sigma Q^T, \quad \Sigma^m = \Lambda
提示：注意$\mu_i$取正实数，因为正定矩阵的特征值必须为正。
步骤 3/6
目标：验证B满足A = B^m
计算$B^m = (Q \Sigma Q^T)^m = Q \Sigma^m Q^T = Q \Lambda Q^T = A$。因此存在正定矩阵B使得$A = B^m$。
公式：B^m = Q \Sigma^m Q^T = A
提示：利用$(Q \Sigma Q^T)^m = Q \Sigma^m Q^T$，因为Q是正交矩阵。
步骤 4/6
目标：假设B是满足条件的正定矩阵，并写出其谱分解
设B是满足$A = B^m$的正定矩阵。由于B正定，存在正交矩阵P使得$B = P D P^T$，其中$D = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$，$d_i > 0$。则$A = B^m = P D^m P^T$，所以$D^m = \operatorname{diag}(d_1^m, d_2^m, \dots, d_n^m)$是A的特征值矩阵。
公式：B = P D P^T, \quad A = P D^m P^T
提示：注意B的正定性保证$d_i > 0$。
步骤 5/6
目标：利用A的特征值互异确定D与Λ的关系
由于A的特征值两两不同，$D^m$的对角元是$\lambda_i$的某个排列。因此存在置换矩阵$\Pi$使得$D^m = \Pi^T \Lambda \Pi$，即$D = \Pi^T \Lambda^{1/m} \Pi$，其中$\Lambda^{1/m} = \operatorname{diag}(\lambda_1^{1/m}, \dots, \lambda_n^{1/m})$。于是$B = P \Pi^T \Lambda^{1/m} \Pi P^T = (P \Pi^T) \Lambda^{1/m} (P \Pi^T)^T$。
公式：D^m = \Pi^T \Lambda \Pi, \quad B = (P \Pi^T) \Lambda^{1/m} (P \Pi^T)^T
提示：置换矩阵$\Pi$的存在是因为$D^m$和$\Lambda$都是对角矩阵且特征值集合相同。
步骤 6/6
目标：比较A的两种正交对角化形式，确定B的表达式
由$A = Q \Lambda Q^T$和$A = (P \Pi^T) \Lambda (P \Pi^T)^T$，且$\Lambda$的对角元互异，可知$Q$和$P \Pi^T$的列向量都是A的特征向量，每个特征值对应一维特征子空间，因此$Q$与$P \Pi^T$的列向量至多相差符号。即存在对角矩阵$S = \operatorname{diag}(\pm 1, \dots, \pm 1)$使得$P \Pi^T = Q S$。于是$B = Q S \Lambda^{1/m} S Q^T = Q \Lambda^{1/m} Q^T$，因为$S \Lambda^{1/m} S = \Lambda^{1/m}$（S与对角矩阵可交换）。因此B唯一确定为$B = Q \Lambda^{1/m} Q^T$。
公式：P \Pi^T = Q S, \quad B = Q \Lambda^{1/m} Q^T
提示：注意$S$是对角元为$\pm 1$的对角矩阵，且与对角矩阵可交换。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。