南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
三、（15分）设矩阵 $\displaystyle A, C$ 分别为 $n$ 级和 $m$ 级可逆矩阵，$\displaystyle B, D$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：
$$
|C| \cdot\left|A-B C^{-1} D\right|=|A| \cdot\left|C-D A^{-1} B\right| .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造分块矩阵
构造分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ D & C \end{pmatrix}$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵，$C$ 是 $m \times m$ 可逆矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，$D$ 是 $m \times n$ 矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：左上角 $A$ 为 $n \times n$，右下角 $C$ 为 $m \times m$，右上角 $B$ 为 $n \times m$，左下角 $D$ 为 $m \times n$。
步骤 2/6
目标：对M进行第一种块消去（左乘）
左乘矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & -B C^{-1} \\ 0 & I_m \end{pmatrix}$ 到 $M$ 上，得到：
$$\begin{pmatrix} I_n & -B C^{-1} \\ 0 & I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ D & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - B C^{-1} D & 0 \\ D & C \end{pmatrix}.$$
两边取行列式，左边矩阵的行列式为 $|I_n| \cdot |I_m| = 1$，所以 $|M| = |A - B C^{-1} D| \cdot |C|$。
公式：分块矩阵乘法及行列式性质：$\det\begin{pmatrix} X & 0 \\ Y & Z \end{pmatrix} = \det(X) \det(Z)$
提示：注意 $C$ 可逆，所以 $C^{-1}$ 存在；左乘矩阵的行列式为1，因为它是下三角且对角元为1。
步骤 3/6
目标：对M进行第二种块消去（右乘）
右乘矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -C^{-1} D & I_m \end{pmatrix}$ 到 $M$ 上，得到：
$$\begin{pmatrix} A & B \\ D & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -C^{-1} D & I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - B C^{-1} D & B \\ 0 & C \end{pmatrix}.$$
两边取行列式，右边矩阵的行列式为 $|A - B C^{-1} D| \cdot |C|$，与第一种方法一致。
公式：分块矩阵乘法及行列式性质：$\det\begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix} = \det(X) \det(Z)$
提示：右乘矩阵的行列式也为1，因为它是下三角且对角元为1。
步骤 4/6
目标：对M进行第三种块消去（左乘）
左乘矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -D A^{-1} & I_m \end{pmatrix}$ 到 $M$ 上，得到：
$$\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -D A^{-1} & I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ D & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C - D A^{-1} B \end{pmatrix}.$$
两边取行列式，左边矩阵行列式为1，所以 $|M| = |A| \cdot |C - D A^{-1} B|$。
公式：分块矩阵乘法及行列式性质：$\det\begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix} = \det(X) \det(Z)$
提示：注意 $A$ 可逆，所以 $A^{-1}$ 存在；左乘矩阵的行列式为1。
步骤 5/6
目标：对M进行第四种块消去（右乘）
右乘矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & -A^{-1} B \\ 0 & I_m \end{pmatrix}$ 到 $M$ 上，得到：
$$\begin{pmatrix} A & B \\ D & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & -A^{-1} B \\ 0 & I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ D & C - D A^{-1} B \end{pmatrix}.$$
两边取行列式，右边矩阵的行列式为 $|A| \cdot |C - D A^{-1} B|$，与第三种方法一致。
公式：分块矩阵乘法及行列式性质：$\det\begin{pmatrix} X & 0 \\ Y & Z \end{pmatrix} = \det(X) \det(Z)$
提示：右乘矩阵的行列式为1。
步骤 6/6
目标：联立等式得出结论
由前两种方法得到 $|M| = |A - B C^{-1} D| \cdot |C|$，由后两种方法得到 $|M| = |A| \cdot |C - D A^{-1} B|$。因此，
$$|A - B C^{-1} D| \cdot |C| = |A| \cdot |C - D A^{-1} B|.$$
两边同时除以 $|A| \cdot |C|$（注意 $|A| \neq 0$，$|C| \neq 0$），即得
$$|C| \cdot |A - B C^{-1} D| = |A| \cdot |C - D A^{-1} B|.$$
公式：行列式乘法性质
提示：注意 $A$ 和 $C$ 可逆，所以行列式非零，可以安全地乘除。
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