南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）证明数域 $P$ 上的线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}A^{\prime} y=0, \\ b^{\prime} y=1\end{array}\right.$ 无解，其中 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, b \in P^{m}, A^{\prime}$ 和 $\displaystyle b^{\prime}$ 分别表示 $A$ 和 $b$ 的转置，$\displaystyle x \in P^{n}$ 和 $\displaystyle y \in P^{m}$ 是未知量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：必要性证明：假设Ax=b有解，推导矛盾
设线性方程组 $Ax = b$ 有解，则存在 $x_0$ 使得 $Ax_0 = b$。假设存在 $y_0$ 满足 $A'y_0 = 0$ 且 $b'y_0 = 1$，则计算 $0 = (A'y_0)'x_0 = y_0' A x_0 = y_0' b = b'y_0 = 1$，得到矛盾。因此方程组 $\begin{cases} A'y = 0 \\ b'y = 1 \end{cases}$ 无解。
公式：$(A'y_0)'x_0 = y_0' A x_0$
提示：注意转置运算的规则：$(A'y)' = y'A$，但这里我们直接使用内积形式。
步骤 2/4
目标：充分性证明：假设Ax=b无解，构造y0
若 $Ax = b$ 无解，则 $b$ 不在 $A$ 的列空间 $\text{Col}(A)$ 中。考虑线性泛函 $f: P^m \to P$ 使得 $f(\text{Col}(A)) = 0$ 且 $f(b) = 1$。由于 $P^m$ 是有限维空间，这样的线性泛函存在（例如，取 $\text{Col}(A)$ 的正交补中的向量与 $b$ 的线性组合）。
提示：线性泛函的存在性依赖于线性代数中的标准结论：对于子空间和其外的向量，存在线性泛函在子空间上为零，在该向量上为1。
步骤 3/4
目标：将线性泛函表示为内积形式
线性泛函 $f$ 可以表示为 $f(z) = y_0' z$ 对于某个 $y_0 \in P^m$。于是对任意 $x \in P^n$，有 $y_0' A x = 0$，即 $y_0' A = 0$，等价于 $A' y_0 = 0$。同时 $y_0' b = 1$，即 $b' y_0 = 1$。因此 $y_0$ 满足 $\begin{cases} A'y = 0 \\ b'y = 1 \end{cases}$，故该方程组有解。
公式：$y_0' A = 0 \iff A' y_0 = 0$
提示：注意转置的性质：$(A'y_0)' = y_0' A$，所以 $A'y_0 = 0$ 等价于 $y_0' A = 0$。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
综上，$Ax = b$ 有解当且仅当 $\begin{cases} A'y = 0 \\ b'y = 1 \end{cases}$ 无解。命题得证。
提示：注意两个命题互为逆否命题，因此证明是等价的。
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