南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
五、（20分）已知 $\displaystyle s \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的秩为 $r$ ，求如下二次型的正惯性指数．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二次型表示为矩阵形式
令 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，则 $A\mathbf{x}$ 是一个 $s$ 维列向量，其第 $i$ 个分量为 $a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n$。因此二次型 $f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^s (a_{i1}x_1 + \cdots + a_{in}x_n)^2 = \|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^T (A\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$。
公式：$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$
提示：注意 $A\mathbf{x}$ 是列向量，其模长的平方等于自身内积。
步骤 2/5
目标：确定二次型的矩阵
由 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$ 可知，二次型 $f$ 的矩阵为 $B = A^T A$，它是一个 $n \times n$ 实对称矩阵。
公式：$B = A^T A$
提示：验证对称性：$(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$。
步骤 3/5
目标：分析矩阵 $B$ 的秩
已知 $A$ 是 $s \times n$ 实矩阵，秩为 $r$。对于实矩阵，有 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$。因此 $\operatorname{rank}(B) = r$。
公式：$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$
提示：该结论成立是因为 $A^T A$ 与 $A$ 有相同的零空间，但需注意 $A$ 是实矩阵。
步骤 4/5
目标：判断矩阵 $B$ 的正定性
对任意 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = \|A\mathbf{x}\|^2 \ge 0$，所以 $B$ 是半正定矩阵。因此 $B$ 的所有特征值非负。
公式：$\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = \|A\mathbf{x}\|^2 \ge 0$
提示：半正定矩阵的特征值非负，但可能有零特征值。
步骤 5/5
目标：确定正惯性指数
正惯性指数等于正特征值的个数。由于 $B$ 半正定，特征值非负，且秩为 $r$，所以非零特征值的个数为 $r$（因为秩等于非零特征值的个数，考虑重数）。因此正特征值的个数为 $r$，即正惯性指数为 $r$。
公式：正惯性指数 = 正特征值个数 = $\operatorname{rank}(B) = r$
提示：注意：半正定矩阵的零特征值对应惯性指数中的零，正特征值对应正惯性指数。
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