南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与目标
已知 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵，特征值为 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$，对应标准正交特征向量 $u_1, u_2, \ldots, u_n$，即 $A u_i = \lambda_i u_i$，$u_i^\top u_j = \delta_{ij}$。需要证明：$$\min_{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_1}} \frac{x^\top A x}{x^\top x} = \lambda_2.$$
提示：注意实对称矩阵可正交对角化，特征向量可取为标准正交基。
步骤 2/7
目标：将约束条件转化为线性组合
由于 $x \perp u_1$，即 $u_1^\top x = 0$，且 $\{u_1, u_2, \ldots, u_n\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基，因此 $x$ 可表示为 $x = \sum_{i=2}^n c_i u_i$，其中 $c_i \in \mathbb{R}$ 不全为零。
公式：x = \sum_{i=2}^n c_i u_i
提示：注意 $x$ 不能为零向量，所以 $c_i$ 不全为零。
步骤 3/7
目标：计算分子 $x^\top A x$
将 $x$ 的表达式代入：$$x^\top A x = \left(\sum_{i=2}^n c_i u_i^\top\right) A \left(\sum_{j=2}^n c_j u_j\right) = \sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n c_i c_j u_i^\top A u_j.$$ 由于 $A u_j = \lambda_j u_j$，且 $u_i^\top u_j = \delta_{ij}$，得 $$u_i^\top A u_j = \lambda_j u_i^\top u_j = \lambda_j \delta_{ij}.$$ 因此 $$x^\top A x = \sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2.$$
公式：x^\top A x = \sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2
提示：注意交叉项消失，因为 $i \neq j$ 时 $u_i^\top u_j = 0$。
步骤 4/7
目标：计算分母 $x^\top x$
类似地，$$x^\top x = \left(\sum_{i=2}^n c_i u_i^\top\right)\left(\sum_{j=2}^n c_j u_j\right) = \sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n c_i c_j u_i^\top u_j = \sum_{i=2}^n c_i^2.$$
公式：x^\top x = \sum_{i=2}^n c_i^2
提示：同样利用正交性。
步骤 5/7
目标：将Rayleigh商转化为加权平均形式
于是，$$\frac{x^\top A x}{x^\top x} = \frac{\sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2}{\sum_{i=2}^n c_i^2}.$$ 这是特征值 $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 的加权平均，权重为 $c_i^2$。
公式：\frac{x^\top A x}{x^\top x} = \frac{\sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2}{\sum_{i=2}^n c_i^2}
提示：注意 $\lambda_i$ 是递增的，所以加权平均的最小值在权重集中于最小特征值时取得。
步骤 6/7
目标：利用特征值单调性求下界
由于 $\lambda_2 \leq \lambda_i$ 对所有 $i \geq 2$ 成立，且 $c_i^2 \geq 0$，有 $$\sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2 \geq \lambda_2 \sum_{i=2}^n c_i^2.$$ 因此 $$\frac{\sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2}{\sum_{i=2}^n c_i^2} \geq \lambda_2.$$ 等号成立当且仅当所有 $i \geq 3$ 对应的 $c_i = 0$，即 $x$ 与 $u_2$ 共线。
公式：\sum_{i=2}^n \lambda_i c_i^2 \geq \lambda_2 \sum_{i=2}^n c_i^2
提示：注意 $\lambda_2$ 是 $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 中的最小值，所以下界是 $\lambda_2$。
步骤 7/7
目标：验证最小值可达并总结
取 $x = u_2$，则 $x \neq 0$，$x \perp u_1$，且 $$\frac{u_2^\top A u_2}{u_2^\top u_2} = \lambda_2.$$ 因此最小值 $\lambda_2$ 可达。故得证：$$\min_{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_1}} \frac{x^\top A x}{x^\top x} = \lambda_2.$$
提示：验证时注意 $u_2$ 满足正交条件。
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