南京师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）设数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 次多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有单因式，证明：
$$
f^{\prime \prime}(x) \mid f(x) \text { 当且仅当 } f(x)=c(x-a)^{n} \text {, }
$$
其中 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数，$\displaystyle a, c$ 是数域 $P$ 中的常数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设多项式分解形式
设 $f(x)$ 在数域 $P$ 上的分解为 $f(x)=c\prod_{i=1}^{m}(x-\alpha_i)^{k_i}$，其中 $\alpha_i$ 互异，$k_i\geq 1$，且 $\sum_{i=1}^{m} k_i = n$。由于 $f(x)$ 没有单因式，故每个 $k_i \geq 2$。
公式：f(x)=c\prod_{i=1}^{m}(x-\alpha_i)^{k_i}
提示：注意没有单因式意味着每个因式的次数至少为2，即 $k_i \geq 2$。
步骤 2/5
目标：必要性：假设 $f''(x) \mid f(x)$，分析根的重数
由于 $f''(x) \mid f(x)$，$f(x)$ 的每个根 $\alpha_i$ 至少是 $f''(x)$ 的根。$\alpha_i$ 是 $f'(x)$ 的 $k_i-1$ 重根，是 $f''(x)$ 的 $k_i-2$ 重根（若 $k_i=2$，则 $\alpha_i$ 不是 $f''(x)$ 的根）。因此 $k_i-2 \geq 0$，即 $k_i \geq 2$，这已满足。
提示：注意 $k_i=2$ 时 $\alpha_i$ 不是 $f''(x)$ 的根，但 $f''(x) \mid f(x)$ 要求 $f(x)$ 的根包含 $f''(x)$ 的所有根，这里 $\alpha_i$ 作为 $f(x)$ 的根，不一定需要是 $f''(x)$ 的根，但 $f''(x)$ 的根必须是 $f(x)$ 的根。
步骤 3/5
目标：必要性：利用次数矛盾证明只有一个根
计算 $f''(x)$ 的次数为 $n-2$。$f''(x)$ 的根全部来自 $\alpha_i$，且每个 $\alpha_i$ 的重数为 $k_i-2$，故 $f''(x)$ 的根的总重数为 $\sum_{i=1}^{m} (k_i-2) = n-2m$。若 $m \geq 2$，则 $n-2m \leq n-4 < n-2$，即 $f''(x)$ 的次数大于其根的总重数，说明 $f''(x)$ 还有非 $\alpha_i$ 的根，但这些根不是 $f(x)$ 的根，与 $f''(x) \mid f(x)$ 矛盾。因此 $m=1$，即 $f(x)$ 只有一个根 $a$，故 $f(x)=c(x-a)^n$。
公式：\sum_{i=1}^{m} (k_i-2) = n-2m
提示：注意 $f''(x)$ 的次数为 $n-2$，而根的总重数最多为 $n-2m$，当 $m\geq 2$ 时 $n-2m < n-2$，因此 $f''(x)$ 必有其他根，导致矛盾。
步骤 4/5
目标：充分性：验证 $f(x)=c(x-a)^n$ 满足条件
若 $f(x)=c(x-a)^n$，则 $f'(x)=cn(x-a)^{n-1}$，$f''(x)=cn(n-1)(x-a)^{n-2}$。显然 $f''(x) \mid f(x)$，因为 $f(x)=c(x-a)^n = \frac{1}{n(n-1)}(x-a)^2 \cdot f''(x)$。
公式：f''(x)=cn(n-1)(x-a)^{n-2}
提示：注意 $n\geq 2$ 保证 $n(n-1)\neq 0$。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$f''(x) \mid f(x)$ 当且仅当 $f(x)=c(x-a)^n$，其中 $a,c \in P$。
提示：结论成立的条件是 $n\geq 2$ 且 $f(x)$ 没有单因式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。