南京师范大学 2017年高等代数第1题
📝 题目
1．（15分）已知 3 阶矩阵 $A$ 满足
$\displaystyle |A-E|=|A-2 E|=|A+E|=\lambda$ ，当 $\displaystyle \lambda=2$ 时，求行列式 $\displaystyle |A+3 E|$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征多项式与行列式的关系
设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则对于任意实数 $\mu$，有 $|A-\mu E| = \prod_{i=1}^3 (\lambda_i - \mu)$。
公式：$|A-\mu E| = \prod_{i=1}^3 (\lambda_i - \mu)$
提示：注意特征多项式是 $\lambda_i - \mu$ 的乘积，而不是 $\mu - \lambda_i$，因为行列式定义中 $A-\mu E$ 的特征值为 $\lambda_i - \mu$。
步骤 2/6
目标：代入已知条件得到方程组
由已知条件 $|A-E|=2$，$|A-2E|=2$，$|A+E|=2$，代入上式得：
$$\prod_{i=1}^3 (\lambda_i-1)=2, \quad \prod_{i=1}^3 (\lambda_i-2)=2, \quad \prod_{i=1}^3 (\lambda_i+1)=2.$$
提示：注意 $|A+E| = |A-(-1)E|$，所以对应 $\mu=-1$。
步骤 3/6
目标：定义多项式并利用函数值
令 $f(x) = \prod_{i=1}^3 (\lambda_i - x)$，则 $f(x)$ 是 $x$ 的三次多项式，且 $f(1)=2$，$f(2)=2$，$f(-1)=2$。由于 $f(x)$ 的首项系数为 $(-1)^3 = -1$，可设 $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$。
公式：$f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$
提示：首项系数为 $(-1)^3$，因为 $\prod (\lambda_i - x)$ 展开后 $x^3$ 系数为 $(-1)^3$。
步骤 4/6
目标：代入三个函数值得到线性方程组
代入 $f(1)=2$：$-1 + a + b + c = 2$，即 $a+b+c=3$。
代入 $f(2)=2$：$-8 + 4a + 2b + c = 2$，即 $4a+2b+c=10$。
代入 $f(-1)=2$：$1 + a - b + c = 2$，即 $a-b+c=1$。
提示：注意符号：$f(-1) = -(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 + a - b + c$。
步骤 5/6
目标：解方程组求多项式系数
解方程组：
(1) $a+b+c=3$
(2) $4a+2b+c=10$
(3) $a-b+c=1$
(2)-(1)得 $3a+b=7$；(1)-(3)得 $2b=2$，所以 $b=1$。代入 $3a+1=7$ 得 $a=2$。再代入(1)得 $2+1+c=3$，所以 $c=0$。因此 $f(x) = -x^3 + 2x^2 + x$。
提示：解方程时注意消元顺序，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：计算目标行列式
所求 $|A+3E| = |A-(-3)E| = f(-3)$。代入 $f(x)$：
$$f(-3) = -(-3)^3 + 2\cdot(-3)^2 + (-3) = 27 + 18 - 3 = 42.$$
公式：$|A+3E| = f(-3)$
提示：注意 $|A+3E| = |A-(-3)E|$，所以代入 $x=-3$。
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