南京师范大学 2017年高等代数第5题
📝 题目
5．（20分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ．其中 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，
证明：$\displaystyle \quad g(x) \mid f(x) \Leftrightarrow m, n, p$ 具有相同的奇偶性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入单位根并化简条件
设 $\omega$ 为 $x^2 - x + 1 = 0$ 的根，则 $\omega^2 = \omega - 1$，且 $\omega^3 = -1$，$\omega^6 = 1$。由于 $g(x)$ 是二次多项式，且 $\omega$ 和 $\bar{\omega}$ 是它的两个根，因此 $g(x) \mid f(x)$ 当且仅当 $f(\omega) = 0$ 且 $f(\bar{\omega}) = 0$。由于 $f(x)$ 是实系数多项式，$f(\omega) = 0$ 等价于 $f(\bar{\omega}) = 0$，故只需证 $f(\omega) = 0$ 当且仅当 $m, n, p$ 具有相同的奇偶性。
公式：$\omega^2 = \omega - 1$, $\omega^3 = -1$, $\omega^6 = 1$
提示：注意 $\omega$ 是复数，且 $\omega$ 与 $\bar{\omega}$ 共轭，实系数多项式在共轭根处取值也共轭。
步骤 2/6
目标：计算 $f(\omega)$ 的表达式
计算 $f(\omega) = \omega^{3m} - \omega^{3n+1} + \omega^{3p+2}$。利用 $\omega^3 = -1$，有 $\omega^{3k} = (-1)^k$，$\omega^{3k+1} = (-1)^k \omega$，$\omega^{3k+2} = (-1)^k \omega^2$。因此 $f(\omega) = (-1)^m - (-1)^n \omega + (-1)^p \omega^2$。
公式：$\omega^{3k} = (-1)^k$, $\omega^{3k+1} = (-1)^k \omega$, $\omega^{3k+2} = (-1)^k \omega^2$
提示：注意指数化简时，$3m$ 是 $3$ 的倍数，$3n+1$ 模 $3$ 余 $1$，$3p+2$ 模 $3$ 余 $2$。
步骤 3/6
目标：代入 $\omega^2 = \omega - 1$ 化简
代入 $\omega^2 = \omega - 1$，得 $f(\omega) = (-1)^m - (-1)^n \omega + (-1)^p (\omega - 1) = [(-1)^m - (-1)^p] + [(-1)^p - (-1)^n] \omega$。
公式：$\omega^2 = \omega - 1$
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 4/6
目标：利用线性无关性得到方程组
由于 $1$ 和 $\omega$ 在有理数域上线性无关（因为 $\omega$ 不是实数），所以 $f(\omega) = 0$ 当且仅当 $(-1)^m - (-1)^p = 0$ 且 $(-1)^p - (-1)^n = 0$。
提示：线性无关性：若 $a + b\omega = 0$ 且 $a,b \in \mathbb{Q}$，则 $a=b=0$。
步骤 5/6
目标：转化为奇偶性条件
由 $(-1)^m = (-1)^p$ 且 $(-1)^p = (-1)^n$ 得 $(-1)^m = (-1)^n = (-1)^p$。这等价于 $m, n, p$ 具有相同的奇偶性。
公式：$(-1)^k = 1$ 当 $k$ 为偶数，$(-1)^k = -1$ 当 $k$ 为奇数
提示：注意 $(-1)^m = (-1)^p$ 意味着 $m$ 和 $p$ 同奇偶，同理 $n$ 和 $p$ 同奇偶。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$g(x) \mid f(x) \Leftrightarrow m, n, p$ 具有相同的奇偶性。
提示：证明完成，注意充分性和必要性都成立。
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