南京师范大学 2017年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设线性空间 $V$ 的线性变换 $A$ 与 $B$ ，满足条件 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ．
证明：$\displaystyle (A+B) V=A V \oplus B V$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的结论
要证明 $(A+B)V = AV \oplus BV$，即证明两个子空间的和等于直和。这需要证明两点：第一，$(A+B)V = AV + BV$；第二，$AV \cap BV = \{0\}$。
提示：注意直和的定义：和空间且交为零。
步骤 2/5
目标：证明 $(A+B)V \subseteq AV + BV$
对任意 $v \in V$，有 $(A+B)v = Av + Bv$。由于 $Av \in AV$，$Bv \in BV$，所以 $(A+B)v \in AV + BV$。因此 $(A+B)V \subseteq AV + BV$。
提示：直接根据像集定义。
步骤 3/5
目标：证明 $AV + BV \subseteq (A+B)V$
取任意 $u \in AV + BV$，则存在 $x, y \in V$ 使得 $u = Ax + By$。利用条件 $A^2=A$, $B^2=B$, $AB=BA=0$，计算 $(A+B)u = (A+B)(Ax+By) = A(Ax+By) + B(Ax+By) = A^2x + ABy + BAx + B^2y = Ax + 0 + 0 + By = Ax+By = u$。因此 $u = (A+B)u \in (A+B)V$，故 $AV + BV \subseteq (A+B)V$。
公式：$A^2=A$, $B^2=B$, $AB=BA=0$
提示：注意 $ABy=0$ 和 $BAx=0$ 的推导。
步骤 4/5
目标：证明 $AV \cap BV = \{0\}$
设 $w \in AV \cap BV$，则存在 $u, v \in V$ 使得 $w = Au = Bv$。由 $AB=0$ 得 $0 = ABv = A(Bv) = Aw$。又由 $A^2=A$ 得 $Aw = A(Au) = A^2u = Au = w$。所以 $w = Aw = 0$。因此 $AV \cap BV = \{0\}$。
公式：$AB=0$, $A^2=A$
提示：注意 $Aw$ 的两种计算方式。
步骤 5/5
目标：得出结论
由前两步知 $(A+B)V = AV + BV$ 且 $AV \cap BV = \{0\}$，故 $(A+B)V = AV \oplus BV$。
提示：直和符号 $\oplus$ 表示和且交为零。
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