南京师范大学 2019年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(0,3,2,1), \alpha_{2}=(2,1,0,-1), \beta_{1}=(1,0,-3,-6), \quad \beta_{2}=(1,0,1,2)$ ，
$\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，
（i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数；
（ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题并设定交的方程
设 $V_1 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$, $V_2 = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2\}$。求交 $V_1 \cap V_2$，即求向量 $x$ 使得 $x = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 = b_1\beta_1 + b_2\beta_2$，等价于 $a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 - b_1\beta_1 - b_2\beta_2 = 0$。
提示：注意交的定义：存在两组系数使得向量相等。
步骤 2/7
目标：构造齐次线性方程组并写出系数矩阵
将向量坐标代入得方程组：
\[
\begin{cases}
0a_1 + 2a_2 - b_1 - b_2 = 0 \\
3a_1 + a_2 + 0b_1 + 0b_2 = 0 \\
2a_1 + 0a_2 + 3b_1 - b_2 = 0 \\
a_1 - a_2 + 6b_1 - 2b_2 = 0
\end{cases}
\]
系数矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & -1 \\
3 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 6 & -2
\end{pmatrix}
\]
提示：注意系数矩阵的列对应未知数 $a_1, a_2, b_1, b_2$。
步骤 3/7
目标：行化简系数矩阵
行化简过程：
\[
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & -1 \\
3 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 6 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 6 & -2 \\
3 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 - 3R_1, R_3 - 2R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 6 & -2 \\
0 & 4 & -18 & 6 \\
0 & 2 & -9 & 3 \\
0 & 2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2/2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 6 & -2 \\
0 & 2 & -9 & 3 \\
0 & 2 & -9 & 3 \\
0 & 2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3 - R_2, R_4 - R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 6 & -2 \\
0 & 2 & -9 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & -4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3 \leftrightarrow R_4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 6 & -2 \\
0 & 2 & -9 & 3 \\
0 & 0 & 8 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：行化简时注意交换行和倍加操作，避免计算错误。
步骤 4/7
目标：求解基础解系
阶梯形矩阵秩为3，基础解系有1个向量。回代：
由 $8b_1 - 4b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = 2b_1$；
$2a_2 - 9b_1 + 3b_2 = 2a_2 - 9b_1 + 6b_1 = 2a_2 - 3b_1 = 0 \Rightarrow a_2 = \frac{3}{2}b_1$；
$a_1 - a_2 + 6b_1 - 2b_2 = a_1 - \frac{3}{2}b_1 + 6b_1 - 4b_1 = a_1 + \frac{1}{2}b_1 = 0 \Rightarrow a_1 = -\frac{1}{2}b_1$。
取 $b_1 = 2$，得 $b_2 = 4$, $a_2 = 3$, $a_1 = -1$。
提示：自由变量取非零值以避免零向量，通常取最小整数。
步骤 5/7
目标：写出交的基和维数
交中向量为 $x = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 = -\alpha_1 + 3\alpha_2 = -(0,3,2,1) + 3(2,1,0,-1) = (6,0,-2,-4)$。
故 $V_1 \cap V_2 = \operatorname{span}\{(6,0,-2,-4)\}$，基为 $(6,0,-2,-4)$，维数为1。
提示：验证交的向量是否同时属于两个子空间。
步骤 6/7
目标：求和的基和维数
$V_1 + V_2 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\}$。将向量作为行构成矩阵，求行秩：
\[
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -3 & -6 \\
1 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
行化简：
\[
\xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & -6 \\
2 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_4 - R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & -6 \\
0 & 1 & 6 & 11 \\
0 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3 - 3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & -6 \\
0 & 1 & 6 & 11 \\
0 & 0 & -16 & -32 \\
0 & 0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3/(-16)}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & -6 \\
0 & 1 & 6 & 11 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4 - 4R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & -6 \\
0 & 1 & 6 & 11 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
秩为3，故 $\dim(V_1+V_2)=3$。
提示：行化简时注意行变换的正确性，最后非零行对应原向量线性无关。
步骤 7/7
目标：确定和的一组基
行最简形中非零行对应的原向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1$（或 $\beta_2$），它们线性无关，故为和的一组基。
基：$(0,3,2,1), (2,1,0,-1), (1,0,-3,-6)$。
提示：选择基时确保向量来自原生成元组，且线性无关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。