南京师范大学 2019年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
设线性方程组为 $AX = b$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$b \in P^m$。已知 $X_0$ 是 $AX = b$ 的一个特解，即 $AX_0 = b$。$X_1, X_2, \dots, X_s$ 是导出组 $AX = 0$ 的一个基础解系，即 $AX_i = 0$（$i=1,\dots,s$），且 $X_1,\dots,X_s$ 线性无关，导出组的任意解可表示为它们的线性组合。
公式：AX_0 = b, \quad AX_i = 0
提示：注意区分原方程组和导出组，以及特解和基础解系的概念。
步骤 2/6
目标：定义新向量并验证其为解
令 $Y_0 = X_0$，$Y_i = X_i + X_0$（$i=1,\dots,s$）。验证 $Y_i$ 是原方程的解：
- $AY_0 = AX_0 = b$，故 $Y_0$ 是解。
- $AY_i = A(X_i + X_0) = AX_i + AX_0 = 0 + b = b$，故 $Y_i$ 也是解。
公式：AY_i = b
提示：验证时注意线性性，$A(X_i+X_0)=AX_i+AX_0$。
步骤 3/6
目标：证明充分性：系数和为1的组合是解
设 $k_0, k_1, \dots, k_s \in P$ 且 $k_0 + k_1 + \cdots + k_s = 1$，则
\[
A\left(\sum_{i=0}^s k_i Y_i\right) = \sum_{i=0}^s k_i AY_i = \sum_{i=0}^s k_i b = \left(\sum_{i=0}^s k_i\right) b = b,
\]
故该线性组合是原方程的解。
公式：A(\sum k_i Y_i) = (\sum k_i) b
提示：注意 $AY_i = b$ 对所有 $i$ 成立，因此求和后系数和必须为1才能得到 $b$。
步骤 4/6
目标：证明必要性：任意解可表示为系数和为1的组合
设 $X$ 是原方程组的任意解，则 $X - X_0$ 是导出组的解，因此存在 $c_1,\dots,c_s \in P$ 使得
\[
X - X_0 = c_1 X_1 + \cdots + c_s X_s.
\]
于是
\[
X = X_0 + \sum_{i=1}^s c_i X_i.
\]
公式：X - X_0 = \sum c_i X_i
提示：利用导出组解的结构：任意解可表示为基础解系的线性组合。
步骤 5/6
目标：将解改写为Y的线性组合
令 $k_0 = 1 - \sum_{i=1}^s c_i$，$k_i = c_i$（$i=1,\dots,s$），则 $k_0 + k_1 + \cdots + k_s = 1$，且
\[
X = X_0 + \sum_{i=1}^s c_i X_i = \left(1 - \sum_{i=1}^s c_i\right) X_0 + \sum_{i=1}^s c_i (X_i + X_0) = k_0 Y_0 + \sum_{i=1}^s k_i Y_i.
\]
因此任意解均可表示为所述形式。
公式：X = k_0 Y_0 + \sum k_i Y_i
提示：注意 $Y_i = X_i + X_0$，因此 $c_i X_i = k_i (Y_i - X_0)$，但直接代入更简洁。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，原方程组的全部解可表示为 $X = k_0 Y_0 + k_1 Y_1 + \cdots + k_s Y_s$，其中 $k_0, k_1, \dots, k_s \in P$ 且 $k_0 + k_1 + \cdots + k_s = 1$。
提示：注意系数和必须为1，这是区别于齐次解的关键。
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