南京师范大学 2019年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）设 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{q}$ 均为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的实系数的一次齐次式，
证明：二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二次型表示为矩阵形式
设 $f_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j$，$g_k = \sum_{j=1}^n b_{kj} x_j$，则二次型可写为 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A^T A \mathbf{x} - \mathbf{x}^T B^T B \mathbf{x} = \mathbf{x}^T (A^T A - B^T B) \mathbf{x}$，其中 $A$ 是 $p \times n$ 矩阵，$B$ 是 $q \times n$ 矩阵。
公式：$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A - B^T B) \mathbf{x}$
提示：注意 $f_i$ 和 $g_k$ 都是一次齐次式，因此可以写成线性形式。
步骤 2/6
目标：引入矩阵 $C$ 并建立关系
考虑矩阵 $C = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 为 $(p+q) \times n$ 矩阵。则 $C^T C = A^T A + B^T B$。令 $M = A^T A - B^T B$，我们需要证明 $M$ 的正惯性指数不超过 $p$。
公式：$C^T C = A^T A + B^T B$
提示：注意 $C$ 的构造方式，将 $A$ 和 $B$ 上下拼接。
步骤 3/6
目标：利用合同变换表示惯性指数
由于 $M$ 是对称矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T M P = \begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & -I_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r$ 为正惯性指数，$s$ 为负惯性指数。
公式：$P^T M P = \begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & -I_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：合同变换不改变惯性指数，这是标准形式。
步骤 4/6
目标：建立 $M$ 与 $N$ 的半正定关系
考虑矩阵 $N = A^T A$，它是半正定的，秩不超过 $p$。由于 $M = N - B^T B$，且 $B^T B$ 半正定，我们有 $M \leq N$（在 Loewner 序下），即对于任意向量 $\mathbf{x}$，$\mathbf{x}^T M \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^T N \mathbf{x}$。
公式：$\mathbf{x}^T M \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^T N \mathbf{x}$
提示：注意 $B^T B$ 半正定，因此减去它后不等式方向。
步骤 5/6
目标：利用正定子空间推导秩不等式
设 $V$ 是 $M$ 的正惯性指数对应的子空间，即 $\dim V = r$ 且对于 $\mathbf{x} \in V \setminus \{0\}$，$\mathbf{x}^T M \mathbf{x} > 0$。则对于这些 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{x}^T N \mathbf{x} \geq \mathbf{x}^T M \mathbf{x} > 0$，因此 $N$ 在 $V$ 上正定。由于 $N$ 的秩不超过 $p$，其正惯性指数不超过 $p$，故 $\dim V \leq p$，即 $r \leq p$。
提示：注意 $N$ 是半正定，在子空间上正定意味着该子空间维数不超过 $N$ 的秩。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，二次型 $f$ 的正惯性指数 $r \leq p$，即不超过 $p$。
提示：结论直接由 $r \leq p$ 得到。
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