南京师范大学 2019年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x+1, g(x)=x^{2}-x-1$ ，
（i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ；
（ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得
$$
u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ;
$$
（iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得
$$
u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x))
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求最大公因式
用辗转相除法求 $f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1$ 与 $g(x)=x^2-x-1$ 的最大公因式。
第一步：$f(x)$ 除以 $g(x)$。
计算 $f(x) \div g(x)$：
商为 $x^2-3$，余式为 $x-2$。
即 $f(x) = (x^2-3)g(x) + (x-2)$。
第二步：$g(x)$ 除以 $x-2$。
计算 $g(x) \div (x-2)$：
商为 $x+1$，余式为 $1$。
即 $g(x) = (x+1)(x-2) + 1$。
因此最大公因式为 $1$，即 $(f(x),g(x))=1$。
公式：f(x) = (x^2-3)g(x) + (x-2), g(x) = (x+1)(x-2) + 1
提示：注意多项式除法计算要准确，尤其是符号和系数。
步骤 2/4
目标：求一组解 u1, v1
由辗转相除法结果回代求 $u_1(x), v_1(x)$ 使得 $u_1 f + v_1 g = 1$。
由 $g(x) = (x+1)(x-2) + 1$ 得 $1 = g(x) - (x+1)(x-2)$。
由 $f(x) = (x^2-3)g(x) + (x-2)$ 得 $x-2 = f(x) - (x^2-3)g(x)$。
代入得：
$1 = g(x) - (x+1)[f(x) - (x^2-3)g(x)]$
$= -(x+1)f(x) + [1 + (x+1)(x^2-3)]g(x)$
计算 $1 + (x+1)(x^2-3) = 1 + (x^3+x^2-3x-3) = x^3+x^2-3x-2$。
所以 $1 = -(x+1)f(x) + (x^3+x^2-3x-2)g(x)$。
因此可取 $u_1(x)=-(x+1)$，$v_1(x)=x^3+x^2-3x-2$。
公式：1 = -(x+1)f(x) + (x^3+x^2-3x-2)g(x)
提示：回代时注意整理合并同类项，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：证明不存在次数相同的 u2, v2
假设存在次数相同的多项式 $u_2(x), v_2(x)$ 使得 $u_2 f + v_2 g = 1$。设 $\deg u_2 = \deg v_2 = n$。
由于 $\deg f = 4$，$\deg g = 2$，则 $\deg(u_2 f) = n+4$，$\deg(v_2 g) = n+2$。
要使和为常数 $1$，必须 $n+4 = n+2$ 或首项相消。但 $n+4 = n+2$ 不可能，而首项相消要求 $n+4 = n+2$ 也矛盾。因此不存在这样的 $u_2, v_2$。
提示：注意次数分析：两个多项式之和为常数时，最高次项必须抵消，但这里次数不同，无法抵消。
步骤 4/4
目标：构造无穷多组 u3, v3 且 deg u3=2019
由（i）知存在一组解 $u_1, v_1$ 满足 $u_1 f + v_1 g = 1$。所有解可表示为：
$u = u_1 + h \cdot g$，$v = v_1 - h \cdot f$，其中 $h(x)$ 是任意多项式。
要求 $\deg u = 2019$。由于 $\deg g = 2$，$\deg u_1 = 1$，当 $\deg h \ge 1$ 时，$\deg(u_1 + hg) = \deg(hg) = \deg h + 2$。令 $\deg h = 2017$，则 $\deg u = 2019$。
由于 $h$ 可取任意次数为 $2017$ 的多项式（例如 $h(x)=x^{2017}+c$，$c$ 任意常数），有无穷多种选择，因此存在无穷多组满足条件的 $u_3, v_3$。
公式：u = u_1 + h \cdot g, v = v_1 - h \cdot f
提示：注意 $h$ 的次数选择要使得 $u$ 的次数恰好为 2019，且 $h$ 的任意性保证了无穷多组。
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