南京师范大学 2019年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明
（i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ；
（ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明（i）：构造差向量并利用内积条件
设 $\gamma = \gamma_1 - \gamma_2$。由条件 $ (\gamma_1, \alpha_i) = (\gamma_2, \alpha_i) $ 对 $i=1,\dots,n$ 成立，可得 $ (\gamma, \alpha_i) = (\gamma_1, \alpha_i) - (\gamma_2, \alpha_i) = 0 $。
公式：$(\gamma, \alpha_i) = 0$
提示：注意差向量的定义，确保内积线性性正确使用。
步骤 2/6
目标：证明（i）：利用基的正交性推出零向量
由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基，任意向量 $v \in V$ 可表示为 $v = \sum_{i=1}^n c_i \alpha_i$。则 $(\gamma, v) = \sum_{i=1}^n c_i (\gamma, \alpha_i) = 0$，故 $\gamma$ 与 $V$ 中所有向量正交。特别地，取 $v = \gamma$ 得 $(\gamma, \gamma)=0$。由内积的正定性得 $\gamma=0$，即 $\gamma_1 = \gamma_2$。
公式：$(\gamma, \gamma)=0 \Rightarrow \gamma=0$
提示：内积正定性：$(\alpha,\alpha)=0$ 当且仅当 $\alpha=0$。
步骤 3/6
目标：证明（ii）：假设条件，反证法第一步
假设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 不是 $V$ 的一组基。则有两种可能：它们线性相关，或者它们生成的子空间 $U = \text{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 是 $V$ 的真子空间。
提示：基的定义：线性无关且生成整个空间。
步骤 4/6
目标：证明（ii）：处理线性相关情形
若 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性相关，则存在非零向量 $\beta \in V$ 使得 $\beta$ 与所有 $\alpha_i$ 正交（例如，取 $\beta$ 为 $U$ 的正交补中的非零向量，因为 $U$ 是 $V$ 的真子空间时正交补非零；若 $U=V$ 但线性相关，则存在非零向量 $\beta$ 使得 $\beta$ 与 $U$ 正交？实际上线性相关时，$U$ 的维数小于 $n$，其正交补非零）。取 $\gamma_1 = \beta$，$\gamma_2 = 0$，则 $(\gamma_1, \alpha_i) = 0 = (\gamma_2, \alpha_i)$ 对所有 $i$ 成立，但 $\gamma_1 \neq \gamma_2$，与条件矛盾。
公式：$(\beta, \alpha_i)=0$
提示：注意：线性相关时，存在非零向量与所有 $\alpha_i$ 正交，这需要利用正交补的存在性。
步骤 5/6
目标：证明（ii）：处理生成真子空间情形
若 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 生成 $V$ 的真子空间 $U$，则 $U^\perp$ 非零。取非零向量 $\beta \in U^\perp$，则 $(\beta, \alpha_i)=0$ 对所有 $i$ 成立。同样取 $\gamma_1 = \beta$，$\gamma_2 = 0$，得到矛盾。
公式：$U^\perp \neq \{0\}$
提示：真子空间的正交补非零，因为 $\dim U^\perp = n - \dim U > 0$。
步骤 6/6
目标：证明（ii）：结论
两种情形均导致矛盾，故假设不成立，因此 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 必须是 $V$ 的一组基。
提示：反证法：假设不成立则原命题成立。
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