南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $f(x)=x^{4}+a, g(x)=x^{6}+b$ ，若 $(f(x), g(x))=x^{2}+1$ ，求 $a b$ 的值 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，利用最大公因式的性质
由题意，$(f(x), g(x)) = x^2 + 1$，即 $x^2+1$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式。因此 $x^2+1$ 整除 $f(x)$ 和 $g(x)$，即 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均以 $x^2+1$ 的根为根。
提示：注意最大公因式是首一多项式，这里 $x^2+1$ 是首一的。
步骤 2/5
目标：确定 $x^2+1$ 的根
解方程 $x^2+1=0$，得 $x = \pm i$，其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。由于 $x^2+1$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式，所以 $i$ 和 $-i$ 都是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的根。
公式：x^2+1=0 \Rightarrow x = \pm i
提示：注意 $i$ 是虚数单位，不要与变量混淆。
步骤 3/5
目标：代入 $x=i$ 到 $f(x)$ 求 $a$
将 $x=i$ 代入 $f(x)=x^4 + a$，得 $f(i) = i^4 + a$。计算 $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$，所以 $f(i) = 1 + a$。由于 $i$ 是 $f(x)$ 的根，有 $f(i)=0$，故 $1+a=0$，解得 $a = -1$。
公式：i^4 = 1
提示：注意 $i^4 = 1$，不要误算为 $i^4 = i$。
步骤 4/5
目标：代入 $x=i$ 到 $g(x)$ 求 $b$
将 $x=i$ 代入 $g(x)=x^6 + b$，得 $g(i) = i^6 + b$。计算 $i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$，所以 $g(i) = -1 + b$。由于 $i$ 是 $g(x)$ 的根，有 $g(i)=0$，故 $-1+b=0$，解得 $b = 1$。
公式：i^6 = -1
提示：注意 $i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$，也可用 $i^6 = i^{4+2} = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$。
步骤 5/5
目标：计算 $ab$ 的值
由前面求得 $a = -1$，$b = 1$，所以 $ab = (-1) \times 1 = -1$。
提示：注意符号，负一乘以正一得负一。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。