南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $n$ 阶行列式 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|=1$ ，令 $b_{i j}=3^{2 i-j} a_{i j}$ ，求 $\left|b_{i j}\right|$ 的值 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出b_{ij}的行列式表达式
根据定义，$b_{ij}=3^{2i-j}a_{ij}$，所以行列式$|b_{ij}|$为：
$$|b_{ij}| = \begin{vmatrix} 3^{2\cdot1-1}a_{11} & 3^{2\cdot1-2}a_{12} & \cdots & 3^{2\cdot1-n}a_{1n} \\ 3^{2\cdot2-1}a_{21} & 3^{2\cdot2-2}a_{22} & \cdots & 3^{2\cdot2-n}a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 3^{2\cdot n-1}a_{n1} & 3^{2\cdot n-2}a_{n2} & \cdots & 3^{2\cdot n-n}a_{nn} \end{vmatrix}.$$
提示：注意指数中的$2i-j$，不要混淆行和列。
步骤 2/6
目标：提取每行的公因子
第$i$行元素可写为$3^{2i}\cdot 3^{-j}a_{ij}$，因此从第$i$行提取因子$3^{2i}$，得到：
$$|b_{ij}| = \left( \prod_{i=1}^n 3^{2i} \right) \begin{vmatrix} 3^{-1}a_{11} & 3^{-2}a_{12} & \cdots & 3^{-n}a_{1n} \\ 3^{-1}a_{21} & 3^{-2}a_{22} & \cdots & 3^{-n}a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 3^{-1}a_{n1} & 3^{-2}a_{n2} & \cdots & 3^{-n}a_{nn} \end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子：若某行有公因子$k$，则$k$可提到行列式外。
提示：提取每行公因子时，注意每行提取的因子不同，需连乘。
步骤 3/6
目标：提取每列的公因子
现在每一列有公因子$3^{-j}$，从第$j$列提取因子$3^{-j}$，得到：
$$|b_{ij}| = \left( \prod_{i=1}^n 3^{2i} \right) \left( \prod_{j=1}^n 3^{-j} \right) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子：若某列有公因子$k$，则$k$可提到行列式外。
提示：注意列因子$3^{-j}$依赖于列，提取时需连乘。
步骤 4/6
目标：代入已知行列式的值
已知$|a_{ij}|=1$，所以：
$$|b_{ij}| = \left( \prod_{i=1}^n 3^{2i} \right) \left( \prod_{j=1}^n 3^{-j} \right) \cdot 1 = \prod_{i=1}^n 3^{2i} \cdot \prod_{j=1}^n 3^{-j}.$$
提示：不要忘记行列式值为1。
步骤 5/6
目标：合并指数并求和
将乘积合并为3的指数形式：
$$|b_{ij}| = 3^{\sum_{i=1}^n 2i - \sum_{j=1}^n j} = 3^{2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}} = 3^{\frac{n(n+1)}{2}}.$$
公式：等差数列求和公式：$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$。
提示：注意$\sum 2i = 2\sum i$，不要漏掉系数。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，$|b_{ij}| = 3^{\frac{n(n+1)}{2}}$。
提示：最终结果是一个关于$n$的指数表达式。
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