南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 为一个 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 行加到第 3 行，再将第 1 行与第 2 行互换之后为 $2 E$ ，求矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并设出初等矩阵
设 $A$ 为3阶方阵。根据题意，先将 $A$ 的第1行加到第3行，对应初等矩阵 $E_{13}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$；再将第1行与第2行互换，对应初等矩阵 $P_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。最终结果为 $2E$，即 $P_{12} E_{13}(1) A = 2E$。
公式：初等行变换对应的左乘初等矩阵
提示：注意初等矩阵左乘表示行变换，右乘表示列变换。
步骤 2/6
目标：计算初等矩阵的乘积
计算 $P_{12} E_{13}(1)$：
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
所以 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} A = 2E$。
公式：矩阵乘法
提示：矩阵乘法不满足交换律，注意顺序。
步骤 3/6
目标：将方程转化为矩阵求逆形式
设 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $B A = 2E$。两边左乘 $B^{-1}$ 得 $A = 2 B^{-1}$。
公式：$B A = 2E \Rightarrow A = 2 B^{-1}$
提示：注意左乘逆矩阵时，等式两边同时左乘。
步骤 4/6
目标：求矩阵 B 的逆矩阵
使用行变换求 $B^{-1}$：
构造增广矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
交换第1、2行：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
第3行减去第1行：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
所以 $B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：行变换求逆矩阵
提示：行变换时只能进行行变换，不能进行列变换。
步骤 5/6
目标：计算矩阵 A
由 $A = 2 B^{-1}$ 得：
$$A = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
公式：数乘矩阵
提示：数乘矩阵时，每个元素都要乘以该数。
步骤 6/6
目标：验证结果
将 $A$ 代入原操作：先第1行加到第3行，再交换第1、2行，应得到 $2E$。
$E_{13}(1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
再左乘 $P_{12}$：$P_{12} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2E$，正确。
公式：矩阵乘法验证
提示：验证时注意运算顺序与题目一致。
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