南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ a & 2 & -b \\ 2 a & -3 a-2 & 3 a+b\end{array}\right)$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，则 $a, b$ 依次为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解伴随矩阵的性质
设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，其伴随矩阵 $A^*$ 满足 $AA^* = |A|I$。伴随矩阵的秩满足：若 $r(A)=n$，则 $r(A^*)=n$；若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$；若 $r(A)
公式：AA^* = |A|I
提示：注意伴随矩阵的秩与矩阵秩的关系，这是解题的关键。
步骤 2/6
目标：计算 $A^*$ 的行列式
计算 $|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ a & 2 & -b \\ 2a & -3a-2 & 3a+b \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$$\begin{aligned} |A^*| &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -b \\ -3a-2 & 3a+b \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} a & -b \\ 2a & 3a+b \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 2 \\ 2a & -3a-2 \end{vmatrix} \\ &= [2(3a+b) - (-b)(-3a-2)] + [a(3a+b) - (-b)(2a)] + [a(-3a-2) - 2(2a)] \\ &= [6a+2b - b(3a+2)] + [3a^2+ab + 2ab] + [-3a^2-2a -4a] \\ &= [6a+2b -3ab -2b] + [3a^2+3ab] + [-3a^2-6a] \\ &= (6a -3ab) + (3a^2+3ab) + (-3a^2-6a) = 0. \end{aligned}$$
提示：展开行列式时注意符号，尤其是第二项是减去(-1)乘以余子式，实际是加余子式。
步骤 3/6
目标：判断 $A^*$ 的秩
由于 $|A^*|=0$，所以 $r(A^*)<3$。根据伴随矩阵的秩性质，$r(A)$ 不能为3，否则 $r(A^*)=3$。因此 $r(A) \leq 2$，从而 $r(A^*) \leq 1$。
提示：注意 $|A^*|=0$ 意味着 $A^*$ 不可逆，但秩可能为1或0。
步骤 4/6
目标：假设 $r(A^*)=1$ 并求解参数
若 $r(A^*)=1$，则 $A^*$ 的所有二阶子式为零，且至少有一个非零元素。观察第一行 $(1,-1,1)$，尝试让第二行与第一行成比例。设存在 $k$ 使得 $(a,2,-b)=k(1,-1,1)$，则 $a=k$，$2=-k$，$-b=k$。解得 $k=-2$，$a=-2$，$b=2$。此时 $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -4 & 4 & -4 \end{pmatrix}$，秩为1。
提示：成比例是秩为1的充分条件，但需验证是否所有二阶子式为零。
步骤 5/6
目标：验证 $r(A^*)=0$ 的可能性
若 $r(A^*)=0$，则 $A^*=0$，但第一行第一列为1，矛盾。因此 $r(A^*)$ 不可能为0，只能是1。
提示：零矩阵的所有元素为零，但 $A^*$ 有非零元素，故排除。
步骤 6/6
目标：确认 $a,b$ 的值
由以上分析，$a=-2$，$b=2$ 满足条件。此时 $r(A^*)=1$，对应 $r(A)=2$，符合伴随矩阵的秩性质。
提示：注意检查 $A$ 的秩是否为2，但题目只需求 $a,b$，无需具体求 $A$。
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