南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 为一个 3 阶方阵，且 $|A+E|=|A+2 E|=|A+3 E|=0$ ，求 $\left|A-A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定A的特征值
由已知条件 $|A+E|=0$，$|A+2E|=0$，$|A+3E|=0$，可知 $-1$，$-2$，$-3$ 是矩阵 $A$ 的特征值。因为 $A$ 是3阶方阵，所以这三个特征值就是 $A$ 的全部特征值。
公式：特征多项式 $|A-\lambda E|=0$ 的根为特征值
提示：注意 $|A+kE|=0$ 意味着 $-k$ 是特征值，而不是 $k$。
步骤 2/4
目标：判断A的可逆性
由于 $A$ 的特征值都不为0（$-1,-2,-3$ 均非零），所以 $A$ 可逆。
公式：矩阵可逆的充要条件是特征值全不为0
提示：如果特征值包含0，则矩阵不可逆。
步骤 3/4
目标：构造函数并求A-A^{-1}的特征值
设函数 $f(\lambda)=\lambda-\lambda^{-1}$。对于 $A$ 的每个特征值 $\lambda$，$A-A^{-1}$ 的特征值为 $f(\lambda)$。因此，$A-A^{-1}$ 的特征值为：$f(-1)=(-1)-(-1)^{-1}=-1-(-1)=0$；$f(-2)=(-2)-(-2)^{-1}=-2-(-\frac{1}{2})=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$；$f(-3)=(-3)-(-3)^{-1}=-3-(-\frac{1}{3})=-3+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$。
公式：若 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则 $p(A)$ 的特征值为 $p(\lambda)$
提示：注意 $\lambda^{-1}$ 是 $\lambda$ 的倒数，计算时小心符号。
步骤 4/4
目标：计算行列式
矩阵 $A-A^{-1}$ 的行列式等于其特征值的乘积，即 $|A-A^{-1}| = 0 \times (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{8}{3}) = 0$。
公式：行列式等于特征值的乘积
提示：只要有一个特征值为0，行列式即为0。
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