南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
6．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ ，其中 $A^{T}=A,|A|=a, r(A+b E)=1$ ，若 $f$ 正定，求 $a, b$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析正定性条件
由于 $f$ 正定，且 $A$ 是实对称矩阵，故 $A$ 的特征值全大于0。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 > 0$。
提示：正定矩阵的特征值全为正数，这是正定的充要条件。
步骤 2/6
目标：利用行列式条件
已知 $|A| = a$，而 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$，因此 $a = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^3 \lambda_i$
提示：注意行列式等于特征值的乘积，且正定性保证 $a>0$。
步骤 3/6
目标：利用秩条件
已知 $r(A + bE) = 1$，即矩阵 $A + bE$ 的秩为1。$A + bE$ 的特征值为 $\lambda_1 + b, \lambda_2 + b, \lambda_3 + b$。由于秩为1，特征值中恰有两个为0，一个非零。不妨设 $\lambda_1 + b = 0$，$\lambda_2 + b = 0$，$\lambda_3 + b \neq 0$。
公式：$\text{特征值} \; \lambda_i + b$
提示：矩阵的秩等于非零特征值的个数（考虑代数重数），这里特征值都是实数。
步骤 4/6
目标：推导特征值关系
由 $\lambda_1 + b = 0$ 和 $\lambda_2 + b = 0$ 得 $\lambda_1 = \lambda_2 = -b$。由于 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$，所以 $-b > 0$，即 $b < 0$。
提示：注意 $b$ 的符号由特征值正负决定。
步骤 5/6
目标：表达 $a$ 与 $b$ 的关系
由 $a = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = (-b)^2 \lambda_3 = b^2 \lambda_3$，且 $\lambda_3 > 0$，故 $a > 0$。同时 $\lambda_3 \neq -b$，否则 $A+bE$ 的三个特征值全为0，秩为0，矛盾。因此 $a \neq b^2 \cdot (-b) = -b^3$。
公式：$a = b^2 \lambda_3$
提示：注意 $\lambda_3$ 不能等于 $-b$，否则 $A+bE$ 的秩为0。
步骤 6/6
目标：综合条件
综上，$a, b$ 满足的条件为：$b < 0$，$a > 0$，且 $a \neq -b^3$。
提示：三个条件缺一不可。
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