南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解旋转方向
题目要求绕 $Ox$ 轴旋转 $90^\circ$，由 $Oy$ 轴向 $Oz$ 轴方向。根据右手螺旋定则，拇指指向 $Ox$ 正方向，旋转方向从 $Oy$ 到 $Oz$，即 $Oy$ 转向 $Oz$。
提示：注意旋转方向：从 $Oy$ 到 $Oz$，不是从 $Oz$ 到 $Oy$。
步骤 2/5
目标：确定基向量 $\varepsilon_1$ 的像
$\varepsilon_1 = (1,0,0)$ 位于旋转轴 $Ox$ 上，旋转后保持不变，因此 $\mathscr{A}\varepsilon_1 = (1,0,0)$。
提示：旋转轴上的向量在旋转变换下不变。
步骤 3/5
目标：确定基向量 $\varepsilon_2$ 的像
$\varepsilon_2 = (0,1,0)$ 在 $Oy$ 轴上，绕 $Ox$ 轴旋转 $90^\circ$ 后，$Oy$ 轴转到 $Oz$ 轴方向，因此 $\mathscr{A}\varepsilon_2 = (0,0,1)$。
提示：注意旋转方向：$Oy$ 转向 $Oz$，所以 $\varepsilon_2$ 变为 $\varepsilon_3$。
步骤 4/5
目标：确定基向量 $\varepsilon_3$ 的像
$\varepsilon_3 = (0,0,1)$ 在 $Oz$ 轴上，绕 $Ox$ 轴旋转 $90^\circ$ 后，$Oz$ 轴转到 $Oy$ 轴负方向，因此 $\mathscr{A}\varepsilon_3 = (0,-1,0)$。
提示：旋转后 $Oz$ 轴指向 $Oy$ 负方向，不要忘记负号。
步骤 5/5
目标：构造变换矩阵
线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵 $A$ 的列向量依次为基向量的像的坐标：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
公式：矩阵的第 $j$ 列是 $\mathscr{A}\varepsilon_j$ 在基下的坐标。
提示：矩阵的列顺序与基向量顺序一致，不要颠倒。
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