南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
8．设一数域 $P$ ，设线性空间 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的对偶基为 $f_{1}, f_{2}$ ，则 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{1}-\alpha_{2}$ 的对偶基为 $\_\_\_\_$ （用 $f_{1}, f_{2}$ 表示）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $P^2$ 中基 $\alpha_1, \alpha_2$ 的对偶基为 $f_1, f_2$，即满足 $f_i(\alpha_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。
公式：f_i(\alpha_j) = \delta_{ij}
提示：注意对偶基的定义：每个 $f_i$ 是线性函数，且作用在基向量上得到单位矩阵。
步骤 2/7
目标：表示新基
新基为 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2$。设新基的对偶基为 $g_1, g_2$，满足 $g_i(\beta_j) = \delta_{ij}$。
提示：新基是原基的线性组合，对偶基也需要用原对偶基线性表示。
步骤 3/7
目标：设出待定系数
将 $g_1, g_2$ 用 $f_1, f_2$ 线性表示：设 $g_1 = a f_1 + b f_2$，$g_2 = c f_1 + d f_2$，其中 $a,b,c,d \in P$。
公式：g_1 = a f_1 + b f_2, \quad g_2 = c f_1 + d f_2
提示：注意线性组合的系数是未知数，需要利用对偶条件求解。
步骤 4/7
目标：利用 $g_1$ 的条件列方程
由 $g_1(\beta_1)=1$ 得：
$g_1(\beta_1) = (a f_1 + b f_2)(\alpha_1 + \alpha_2) = a f_1(\alpha_1) + a f_1(\alpha_2) + b f_2(\alpha_1) + b f_2(\alpha_2) = a \cdot 1 + a \cdot 0 + b \cdot 0 + b \cdot 1 = a + b = 1$。
由 $g_1(\beta_2)=0$ 得：
$g_1(\beta_2) = (a f_1 + b f_2)(\alpha_1 - \alpha_2) = a f_1(\alpha_1) - a f_1(\alpha_2) + b f_2(\alpha_1) - b f_2(\alpha_2) = a - b = 0$。
公式：a + b = 1, \quad a - b = 0
提示：计算时注意线性性，并正确代入 $f_i(\alpha_j)$ 的值。
步骤 5/7
目标：求解 $g_1$ 的系数
解方程组 $\begin{cases} a+b=1 \\ a-b=0 \end{cases}$，得 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$。因此 $g_1 = \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2$。
提示：解线性方程组时注意符号，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：利用 $g_2$ 的条件列方程并求解
由 $g_2(\beta_1)=0$ 得：$g_2(\beta_1) = (c f_1 + d f_2)(\alpha_1 + \alpha_2) = c + d = 0$。
由 $g_2(\beta_2)=1$ 得：$g_2(\beta_2) = (c f_1 + d f_2)(\alpha_1 - \alpha_2) = c - d = 1$。
解方程组 $\begin{cases} c+d=0 \\ c-d=1 \end{cases}$，得 $c = \frac{1}{2}, d = -\frac{1}{2}$。因此 $g_2 = \frac{1}{2} f_1 - \frac{1}{2} f_2$。
公式：c + d = 0, \quad c - d = 1
提示：注意 $g_2(\beta_1)=0$ 而不是1，避免混淆。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
新基 $\beta_1, \beta_2$ 的对偶基为 $g_1 = \frac{1}{2}(f_1 + f_2)$，$g_2 = \frac{1}{2}(f_1 - f_2)$。
提示：结果可以写成 $\frac{1}{2}(f_1+f_2)$ 和 $\frac{1}{2}(f_1-f_2)$ 的形式。
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