南京理工大学 2024年高等代数第0题

题目中 $V = P[x]_n$ 是次数小于 $n$ 的多项式与零多项式生成的线性空间，内积定义为 $\varphi(f,g) = \int_{-1}^1 f(x)g(x) dx$。当 $n=4$ 时，基为 $1, x, x^2, x^3$。度量矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij} = \varphi(e_i, e_j)$，其中 $e_1=1, e_2=x, e_3=x^2, e_4=x^3$。

由于积分区间对称，奇函数积分为0，偶函数积分为 $2\int_0^1 x^k dx = \frac{2}{k+1}$。当 $i+j-2$ 为奇数时 $a_{ij}=0$；为偶数时 $a_{ij} = \frac{2}{i+j-1}$。计算所有 $a_{ij}$： - $a_{11} = \int_{-1}^1 1 dx = 2$ - $a_{12} = \int_{-1}^1 x dx = 0$ - $a_{13} = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3}$ - $a_{14} = \int_{-1}^1 x^3 dx = 0$ - $a_{22} = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3}$ - $a_{23} = \int_{-1}^1 x^3 dx = 0$ - $a_{24} = \int_{-1}^1 x^4 dx = \frac{2}{5}$ - $a_{33} = \int_{-1}^1 x^4 dx = \frac{2}{5}$ - $a_{34} = \int_{-1}^1 x^5 dx = 0$ - $a_{44} = \int_{-1}^1 x^6 dx = \frac{2}{7}$

由对称性 $a_{ij}=a_{ji}$，得到度量矩阵： $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.$$

内积 $\varphi$ 非退化是指：对任意 $f \in V$，若 $\varphi(f,g)=0$ 对所有 $g \in V$ 成立，则 $f=0$。等价地，度量矩阵可逆。

取 $g = f$，则 $\varphi(f,f) = \int_{-1}^1 f(x)^2 dx = 0$。由于 $f(x)^2 \ge 0$ 且连续，积分非负，故 $f(x)^2 = 0$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，从而 $f(x)=0$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立。因为 $f$ 是多项式，在无穷区间上为零多项式，所以 $f=0$。因此 $\varphi$ 非退化。