南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三．（10分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶矩阵，其中 $\displaystyle a_{i j}=\max \{i, j\}$ ，求 $\displaystyle \left|A^{*}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵A的具体形式
根据定义 $a_{ij}=\max\{i,j\}$，写出 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素：
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
2 & 2 & 3 & \cdots & n \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \cdots & n
\end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵是对称的，且主对角线元素为 $i$，上三角元素为列号，下三角元素为行号。
步骤 2/7
目标：行变换化简行列式
将第 $i$ 行减去第 $i+1$ 行（$i=1,2,\dots,n-1$），得到新矩阵：
$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & -1 & -1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \cdots & n
\end{pmatrix}$$
公式：行变换不改变行列式的值
提示：注意最后一行保持不变，因为 $n-1$ 行减去第 $n$ 行后，第 $n$ 行未参与减法。
步骤 3/7
目标：列变换化为下三角矩阵
将第 $j$ 列加到第 $j+1$ 列（$j=1,2,\dots,n-1$），得到：
$$\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & -2 & -2 & \cdots & -2 \\
-1 & -2 & -3 & \cdots & -3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & 2n & 3n & \cdots & n^2
\end{pmatrix}$$
这是一个下三角矩阵，对角元为 $-1, -2, \dots, -n$。
公式：列变换不改变行列式的值
提示：注意列变换后，第 $j$ 列元素变为原第 $j$ 列与第 $j+1$ 列之和，但下三角性质成立。
步骤 4/7
目标：计算行列式|A|
下三角矩阵的行列式等于对角元乘积：
$$|A| = (-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^n n!$$
公式：下三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积
提示：注意符号：$(-1)^n$ 表示 $n$ 个 $-1$ 相乘，结果为 $(-1)^n$。
步骤 5/7
目标：利用伴随矩阵行列式公式
对于 $n$ 阶矩阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 的行列式满足：
$$|A^*| = |A|^{n-1}$$
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：该公式要求 $A$ 可逆，但即使 $A$ 不可逆，公式也成立（此时两边均为0）。本题 $|A| \neq 0$，故可逆。
步骤 6/7
目标：代入|A|计算|A*|
将 $|A| = (-1)^n n!$ 代入公式：
$$|A^*| = \left[(-1)^n n!\right]^{n-1} = (-1)^{n(n-1)} (n!)^{n-1}$$
提示：注意指数运算：$[(-1)^n]^{n-1} = (-1)^{n(n-1)}$。
步骤 7/7
目标：化简符号
由于 $n(n-1)$ 是偶数（因为 $n$ 和 $n-1$ 一奇一偶，乘积为偶数），所以 $(-1)^{n(n-1)} = 1$。因此：
$$|A^*| = (n!)^{n-1}$$
提示：奇偶性判断：$n(n-1)$ 必为偶数，因为连续两整数必有一偶。
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