南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：存在一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $B$ 与一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $C$ ，满足 $\displaystyle A=C B$ ，且 $\displaystyle B C=E_{r}$（ $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用幂等矩阵性质进行相似对角化
由于 $A^2 = A$，$A$ 是幂等矩阵。已知 $\operatorname{rank}(A) = r$，则 $A$ 的特征值只有 $0$ 和 $1$，且 $1$ 的代数重数等于几何重数等于 $r$。因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：幂等矩阵的特征值只能是0或1，且可对角化，注意秩等于1的特征值的个数。
步骤 2/6
目标：分块表示矩阵P及其逆
令 $P = (P_1 \mid P_2)$，其中 $P_1$ 是 $n \times r$ 矩阵，$P_2$ 是 $n \times (n-r)$ 矩阵。则 $P^{-1} = \begin{pmatrix} B \\ Q \end{pmatrix}$，其中 $B$ 是 $r \times n$ 矩阵，$Q$ 是 $(n-r) \times n$ 矩阵。
提示：注意分块时列数对应，$P_1$ 的列数为 $r$，$B$ 的行数为 $r$。
步骤 3/6
目标：推导A的分解形式
由 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，代入分块得 $A = (P_1 \mid P_2) \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B \\ Q \end{pmatrix} = P_1 B$。
公式：$A = P_1 B$
提示：矩阵乘法时注意分块相乘，中间矩阵的零块会消去 $P_2$ 和 $Q$。
步骤 4/6
目标：验证秩条件
由于 $P$ 可逆，$P_1$ 的列线性无关，故 $\operatorname{rank}(P_1) = r$；同理 $B$ 的行线性无关，故 $\operatorname{rank}(B) = r$。
提示：可逆矩阵的子矩阵秩等于其列数或行数，但需注意 $P_1$ 是 $n \times r$ 且列满秩。
步骤 5/6
目标：证明BC = I_r
由 $P^{-1}P = I_n$ 得 $\begin{pmatrix} B \\ Q \end{pmatrix} (P_1 \mid P_2) = \begin{pmatrix} B P_1 & B P_2 \\ Q P_1 & Q P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，因此 $B P_1 = I_r$，即 $BC = I_r$，其中 $C = P_1$。
公式：$BC = I_r$
提示：注意 $P^{-1}P = I$ 的左上角块即为 $B P_1$，等于 $I_r$。
步骤 6/6
目标：总结结论
取 $C = P_1$，$B$ 为 $P^{-1}$ 的前 $r$ 行，则 $A = CB$，且 $\operatorname{rank}(C) = r$，$\operatorname{rank}(B) = r$，$BC = E_r$。
提示：注意 $B$ 和 $C$ 的尺寸：$B$ 是 $r \times n$，$C$ 是 $n \times r$。
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