南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）设实数域上的多项式为 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，求当 $p$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 有重因式？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解重因式的条件
多项式 $f(x)$ 有重因式当且仅当 $f(x)$ 与它的导数 $f'(x)$ 有公因式，即它们的最大公因式次数大于0。
提示：注意：重因式包括重根对应的因式，如 $(x-a)^k$，$k\geq 2$。
步骤 2/7
目标：计算导数
对 $f(x)=x^3+6x^2+3px+8$ 求导，得 $f'(x)=3x^2+12x+3p$。
公式：$f'(x)=3x^2+12x+3p$
提示：求导时注意常数项导数为0。
步骤 3/7
目标：利用重根条件建立方程组
设重根为 $a$，则 $f(a)=0$ 且 $f'(a)=0$。得到方程组：
\[
\begin{cases}
a^3+6a^2+3pa+8=0 \\
3a^2+12a+3p=0
\end{cases}
\]
提示：重根满足两个方程，注意不要遗漏。
步骤 4/7
目标：消去参数 p
由 $f'(a)=0$ 得 $p = -a^2-4a$。代入 $f(a)=0$：
\[
a^3+6a^2+3(-a^2-4a)a+8 = a^3+6a^2-3a^3-12a^2+8 = -2a^3-6a^2+8=0
\]
化简得 $a^3+3a^2-4=0$。
公式：$p = -a^2-4a$
提示：代入时注意乘法运算，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：求解重根 a
因式分解 $a^3+3a^2-4=0$：
\[
a^3+3a^2-4 = (a-1)(a^2+4a+4) = (a-1)(a+2)^2 = 0
\]
解得 $a=1$ 或 $a=-2$（二重根）。
公式：$(a-1)(a+2)^2=0$
提示：因式分解时注意尝试有理根，如 $a=1$。
步骤 6/7
目标：回代求 p
将 $a=1$ 代入 $p = -a^2-4a$ 得 $p = -1-4 = -5$。
将 $a=-2$ 代入得 $p = -4+8 = 4$。
提示：注意代入时符号：$(-2)^2=4$，$-4a=-4\times(-2)=8$。
步骤 7/7
目标：验证结果
当 $p=4$ 时，$f(x)=x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3$，有三重因式。
当 $p=-5$ 时，$f(x)=x^3+6x^2-15x+8=(x-1)^2(x+8)$，有二重因式。
因此 $p=4$ 或 $p=-5$ 时 $f(x)$ 有重因式。
提示：验证可确保答案正确，避免计算错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。