南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五．（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3), \alpha_{2}=(1,0,1)$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle \beta_{1}=(-1,2, t), \beta_{2}=(4,1,5)$ 生成的子空间．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $t$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 写成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的线性组合．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与条件分析
已知 $V_1 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$，$V_2 = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2\}$，且 $V_1 = V_2$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（因为不成比例），它们构成 $V_1$ 的一组基。$V_1 = V_2$ 意味着 $\beta_1, \beta_2$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，且 $\alpha_1, \alpha_2$ 也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示。
提示：注意 $V_1 = V_2$ 是二维子空间，因此两个向量组等价。
步骤 2/5
目标：设线性表示并列出方程组
设 $\beta_1 = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2$，$\beta_2 = y_1 \alpha_1 + y_2 \alpha_2$。代入坐标：
$\beta_1 = (-1,2,t)$，$\alpha_1 = (1,2,3)$，$\alpha_2 = (1,0,1)$。
对于 $\beta_1$：
$(-1,2,t) = x_1(1,2,3) + x_2(1,0,1) = (x_1+x_2, 2x_1, 3x_1+x_2)$。
得到方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -1 \\
2x_1 = 2 \\
3x_1 + x_2 = t
\end{cases}
\]
公式：向量线性表示：$\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2$
提示：注意坐标对应相等，不要写错顺序。
步骤 3/5
目标：求解 $\beta_1$ 的系数和 $t$
由第二式 $2x_1 = 2$ 得 $x_1 = 1$。代入第一式 $1 + x_2 = -1$ 得 $x_2 = -2$。代入第三式 $t = 3 \cdot 1 + (-2) = 1$。因此 $t=1$，且 $\beta_1 = \alpha_1 - 2\alpha_2$。
提示：解方程组时注意代入顺序，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：求解 $\beta_2$ 的系数
对于 $\beta_2 = (4,1,5)$，设 $\beta_2 = y_1 \alpha_1 + y_2 \alpha_2$，得：
$(4,1,5) = (y_1+y_2, 2y_1, 3y_1+y_2)$。
方程组：
\[
\begin{cases}
y_1 + y_2 = 4 \\
2y_1 = 1 \\
3y_1 + y_2 = 5
\end{cases}
\]
由第二式得 $y_1 = \frac{1}{2}$，代入第一式得 $\frac{1}{2} + y_2 = 4$，$y_2 = \frac{7}{2}$。代入第三式验证：$3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 5$，成立。因此 $\beta_2 = \frac{1}{2}\alpha_1 + \frac{7}{2}\alpha_2$。
提示：验证第三步方程可确保解的正确性。
步骤 5/5
目标：总结答案
求得 $t = 1$，且线性组合为：
\[
\beta_1 = \alpha_1 - 2\alpha_2, \quad \beta_2 = \frac{1}{2}\alpha_1 + \frac{7}{2}\alpha_2.
\]
提示：最终答案需清晰写出。
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